tarjan算法

【功能】

Tarjan算法的用途之一是，求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话，那么这个强连通分量就是极大强连通分量。

【算法思想】

用dfs遍历G中的每个顶点，通dfn[i]表示dfs时达到顶点i的时间，low[i]表示i所能直接或间接达到时间最小的顶点。(实际操作中low[i]不一定最小，但不会影响程序的最终结果)

程序开始时，time初始化为0，在dfs遍历到v时，low[v]=dfn[v]=time++，

v入栈（这里的栈不是dfs的递归时系统弄出来的栈）扫描一遍v所能直接达到的顶点k，如果k没有被访问过那么先dfs遍历k，low[v]=min(low[v],low[k])；如果k在栈里，那么low[v]=min(low[v],dfn[k])(就是这里使得low[v]不一定最小，但不会影响到这里的low[v]会小于dfn[v])。扫描完所有的k以后，如果low[v]=dfn[v]时，栈里v以及v以上的顶点全部出栈，且刚刚出栈的就是一个极大强连通分量。

【大概的证明】

1．在栈里，当dfs遍历到v，而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时，low[v]=dfn[v]时，v一定能到达栈里v上面的顶点：

因为当dfs遍历到v，而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时（假设上面没有low=dfn），这时如果发现low[v]=dfn[v]，栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的，所以v一定能够到达那些顶点。

2 .dfs遍历时，如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v]，我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点，这些顶点的low一定小于自己的dfn，不然就会出栈了，也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量，如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v]（这里不再详细说），所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。

【时间复杂度】

因为所有的点都刚好进过一次栈，所有的边都访问的过一次，所以时间复杂度为O （n+m）

核心代码(我用并查集实现的，冼貌似有不同，可以问他拿一下)：

function getfather(dep:longint):longint;

begin

if father[dep]=dep then exit(dep);

getfather:=getfather(father[dep]);

father[dep]:=getfather;

end;

procedure dfs(dep:longint);

var

i,j,v2:longint;

begin

inc(time);

low[dep]:=time;

check[dep]:=true; zhan[dep]:=true;

for i:=1 to n do

begin

if map[dep,i]=1 then

begin

if not check[i] then dfs(i);

v2:=getfather(i);

if zhan[v2] then

if low[v2]

low[dep]:=low[v2];

father[dep]:=v2;

end;

end;

end;

zhan[dep]:=false;

end;