二重积分的概念及几何意义
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2 2 2
3
O
x
y
x
z
z f ( x, y)
o
D
y
平顶柱体的体积计算
体积= 底面积×高
曲顶柱体的体积计算
曲边梯形面积的求法 以平面代曲面 以直线代曲线
“分割、近似、求和、取极限”的思想方法
步骤如下：
先用曲线网把 D 分成 n 个小闭区域
1 , 2 , , n .
z
o x
y
z
并取典型小区域, 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积 .
D
i 1
f ( x, y )d lim f ( i ,i ) i . 0 i 1
D
n
积 分 区 域
被 积 函 数Leabharlann Baidu
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
对二重积分(double integral)定义的说明
(1)在定义中, 对闭区域D的划分 是任意的,面积元素d表示积分 和中的 i , 在直角坐标系中面 积元素d dxdy ,
二重积分的概念及几何意义
一、问题的提出 二、二重积分的定义
三、二重积分的几何意义
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积
设有一立体，它的底是 定义 xoy 面上的闭区域 D，它的侧面 是以 D 的边界曲线为准线而母线 平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲 面 z f ( x , y ) ，这里 f ( x , y ) 0 且 在 D 上连续．这样的立体叫做曲 顶柱体．
z
0
x
y
例 根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.
D
a x y d ,
2 2 2
D: x y a ，
2 2 2
解
投影区域为圆域 D : x 2 y 2 a 2，
被积函数为半球面 z a 2 x 2 y 2 . z 由二重积分的几何意义，得
D
1 4πa a x y d 2 3 2 3 πa . 3
此时二重积分为
D D
y
D
o x
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy .
( 2)如果函数f ( x , y )在闭区域D上连续, 那么它在D 上的二重积分必定存在 .
三、二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负 值． 二重积分的几何意义 二重积分是各部分区域 上柱体体积的代数和，在xoy 平面上方的取正，在xoy平面 下方取负．
y
( i , i )
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
Di
O
x
n i 1
近似等于薄片总质量
M lim ( i ,i ) i .
0
二、二重积分的定义
定义 f ( x , y )是有界闭区域D上的有界函数 . 将闭 设
区域D任意划分成n个小闭区域D1 , D2 ,, Dn , 并 用 i 表示第i个小闭区域Di的面积 . 在每个Di 上 任取一点( i , i ), 作乘积f ( i , i ) i ,
并作和 f ( i , i ) i .
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 0时, 该和 的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y )在闭区域D上 的二重积分, 记作 f ( x , y )d ,即
z f ( x, y)
o x
D
n
y
( i ,i )
Di
i 1
曲顶柱体的体积 V lim f ( i ,i ) i . 0
２.求平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在 点 ( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ), ( x , y ) 0且在D上连 续.计算该薄片的质量 .
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x
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x
z
z f ( x, y)
o
D
y
平顶柱体的体积计算
体积= 底面积×高
曲顶柱体的体积计算
曲边梯形面积的求法 以平面代曲面 以直线代曲线
“分割、近似、求和、取极限”的思想方法
步骤如下：
先用曲线网把 D 分成 n 个小闭区域
1 , 2 , , n .
z
o x
y
z
并取典型小区域, 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积 .
D
i 1
f ( x, y )d lim f ( i ,i ) i . 0 i 1
D
n
积 分 区 域
被 积 函 数Leabharlann Baidu
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
对二重积分(double integral)定义的说明
(1)在定义中, 对闭区域D的划分 是任意的,面积元素d表示积分 和中的 i , 在直角坐标系中面 积元素d dxdy ,
二重积分的概念及几何意义
一、问题的提出 二、二重积分的定义
三、二重积分的几何意义
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积
设有一立体，它的底是 定义 xoy 面上的闭区域 D，它的侧面 是以 D 的边界曲线为准线而母线 平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲 面 z f ( x , y ) ，这里 f ( x , y ) 0 且 在 D 上连续．这样的立体叫做曲 顶柱体．
z
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x
y
例 根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.
D
a x y d ,
2 2 2
D: x y a ，
2 2 2
解
投影区域为圆域 D : x 2 y 2 a 2，
被积函数为半球面 z a 2 x 2 y 2 . z 由二重积分的几何意义，得
D
1 4πa a x y d 2 3 2 3 πa . 3
此时二重积分为
D D
y
D
o x
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy .
( 2)如果函数f ( x , y )在闭区域D上连续, 那么它在D 上的二重积分必定存在 .
三、二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负 值． 二重积分的几何意义 二重积分是各部分区域 上柱体体积的代数和，在xoy 平面上方的取正，在xoy平面 下方取负．
y
( i , i )
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
Di
O
x
n i 1
近似等于薄片总质量
M lim ( i ,i ) i .
0
二、二重积分的定义
定义 f ( x , y )是有界闭区域D上的有界函数 . 将闭 设
区域D任意划分成n个小闭区域D1 , D2 ,, Dn , 并 用 i 表示第i个小闭区域Di的面积 . 在每个Di 上 任取一点( i , i ), 作乘积f ( i , i ) i ,
并作和 f ( i , i ) i .
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 0时, 该和 的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y )在闭区域D上 的二重积分, 记作 f ( x , y )d ,即
z f ( x, y)
o x
D
n
y
( i ,i )
Di
i 1
曲顶柱体的体积 V lim f ( i ,i ) i . 0
２.求平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在 点 ( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ), ( x , y ) 0且在D上连 续.计算该薄片的质量 .