中考数学中绝对值的性质及其应用

中考数学中绝对值的性质及其应用

二中 成呈祥

绝对值的定义是：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记做︱a ︱，如图所示：

绝对值运算法则是：（1）一个正数的绝对值是它本身；

如果a ＞0，那么，︱a ︱＝a.(2)一个负数的绝对值是它的

相反数；如果a ＜0，那么，︱a ︱＝－a.（3）0的绝对值是0；︱a ︱＝0.

由绝对值的定义和运算性质可以得出下面的性质：

一、实数的绝对值，一定是非负数，︱a ︱≥0.

例1.若︱x-1︱+4︱y+3︱＝0,求x,y 的值.

解：∵︱x-1︱≥0，︱y+3︱≥0，∴x-1=0,y+3=0,解得：x ＝1,y ＝-3.

二、在实数范围内，绝对值最小的数是0，即：最小值=0.

例2.代数式5-︱a+b ︱的最大值是多少？此时a 与b 是什么关系？

解：∵︱a+b ︱≥0，而︱a+b ︱的最小值是0，即：5-︱a+b ︱有最大值5，

此时，︱a+b ︱=0，即：a+b=0, ∴当5-︱a+b ︱有最大值5时，a 与b 互为相反数.

三、任何实数都有唯一的绝对值.

例3.求下列各数的绝对值. 3，-

32，0，+0.75，-8，-3. 解：︱3︱＝3，︱-

32︱＝3

2，︱0︱＝0，︱+0.75︱＝0.75，︱-8︱＝8， ︱-3︱＝3.

四、任何实数都不大于它的绝对值.例如：10＝︱10︱，0＝︱-3︱，-3＜︱-3︱-1.25＜︱-1.25︱.

五、两个数如果是互为相反数或相等，则它们的绝对值相等，

即：若a+b ＝0,则︱a ︱＝︱b ︱;若a ＝b,则︱a ︱＝︱b ︱.

反过来，若︱a ︱＝︱b ︱，则a+b ＝0,或a ＝b.

例4.若︱x ︱＝3,则x ＝ .

解：∵︱x ︱＝3，即：当x ＞0时，x ＝3;当x ＜0时，x ＝-3.

例5.若︱a ︱＝4，︱b ︱＝7，则︱a+b ︱＝ .

解: ∵︱a ︱＝4，∴a ＝±4,∵︱b ︱＝7，∴b ＝±7，

所以有四种情况：

（1）当a ＝4,b ＝7时，︱a+b ︱＝︱4+7︱＝11；

（2）当a ＝4,b ＝-7时，︱a+b ︱＝︱4-7︱＝3；

（3）当a ＝-4,b ＝7时，︱a+b ︱＝︱-4+7︱＝3；

（4）当a ＝-4,b ＝-7时，︱a+b ︱＝︱-4-7︱＝11.

六、如果︱x ︱＜a,那么，-a ＜x ＜a; 如果︱x ︱＞a,那么,x ＜-a 或x ＞a; 如果︱x ︱=a,那

么,x ＝-a 或x ＝a.

例6. ︱x ︱＜4的整数有 个.

解：∵︱x ︱＜4，∴-4＜x ＜4，在-4←→4之间的整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.所以符合条件的整数有0、±1、±2、±3共七个.

七、如果︱x ︱＝x,那么，x ≥0；如果︱x ︱＝-x,那么，x ≤0.

例7.若︱a-2︱＝2-a,则a 的取值范围是 .

解：∵︱a-2︱＝2-a ＝-（a-2）, ∴2-a ≥0，解这个不等式得：a ≤2.即：a 的取值范围是a ≤2.

通过以上举例大家对绝对值的定义、性质和运算法则有了一定的了解，下面再举几例供学习参考.

例8.选择题 若︱a-b ︱＜︱a+b ︱,则 .

A.a 与b 都是负数；

B. a 与b 都是正数；

C. a 与b 中一个正数一个负数；

D. a 与b 中至少有一个数为0.

解：∵︱a-b ︱＜︱a+b ︱,根据绝对值定义可知，a-b 到原点的距离比a+b 到原点的距离大，而a-b 与a+b 在a 与b 符号不同时，才能使已知条件成立，故选C. 例9. a 、b 、c 在数轴上如图，

求︱a-c ︱-︱a+b ︱-︱c+b ︱的值.

解：由图像观察可知：a ＞0，b ＜c ＜0，︱a ︱＜︱b ︱, ︱c ︱＜︱b ︱,

根据有理数加法法则有，a-c=a+（-c ）＞0，a+b ＜0,c+b ＜0,

再根据绝对值运算法则有，︱a-c ︱＝a-c, ︱a+b ︱＝-(a+b), ︱c+b ︱＝-(c+b), ∴︱a-c ︱-︱a+b ︱-︱c+b ︱＝(a-c)-[-(a+b)]-[ -(c+b)]＝a-c+a+b+c+b ＝2a+2b. 例10.计算 ︱3-4x ︱-︱2+3x ︱.

解：设：3-4x ＝0,则x ＝43;再设2+3x=0,则x ＝-3

2. 列表判断3-4x 与2+3x 的正与负（如右表）： ∴当x ＜-32时，原式=（3-4x ）-(2+3x)＝-7x+1; 当-32≤x ＜4

3时，原式＝-x+5; 当x ≥43时，原式＝-7x+1.