误差的估算(精)
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第三节 误差的估算
由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种,无论直测量,还是间测量都有误差,误差的计算也分两种情况。广义地讲,两种情况的处理都属于误差计算。然而,间测量是由直测量决定的,以直测量为基础的,间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此,狭义地讲,常把直测量的误差计算称为误差计算,而将间测量的误差计算叫误差传递。此外,由于严格意义上的误差是无法计算的,因而只能通过各种方法进行近似计算,故将误差计算称为误差的估算,而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。
一、直测量的误差估算 1.算术平均误差 在测量列{}i X 中,各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为X ∆。
按定义 ∑=-=∆n
i i X X n X 101
或 ∑=∆=∆n
i i X n X 1
1
其中0X X X i i -=∆。
当n 较大时,可用下式估算为
()
1--=
∆∑n n X
X X i
此法比前法得到的偏差要大些。
2.绝对误差
误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差,如上面的i X ∆,X ∆。而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ,x σ,σ,Q 等。 3.
绝对误差与平均值的百分比叫相对误差,又叫百分误差。记为r E 。其估算方法为
%100⨯∆=
X
X
E r 广义地讲,后面要讨论的
X
S x 、
X
σ
等都可叫相对误差。 4.标准误差(实验标准差)
按定义,标准误差是测量列中各次误差的方均根,记为x σ。即
()∑=-=n
i i x X X n 1
201σ 需要注意的是,上式是在测量次数很多时,测量列按正态分布时所得到的结果。
实际上,由于真值无法获得,而测量次数也只能是有限的。因此,标准误差x σ只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有:最大偏差法、极差法、Bessel 法等,它们的估算结果基本一致。应用上,一般使用Bessel 方法。
由统计理论可推导出,对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为:
()
∑=--=n
i i x X X n
S 1
2
11
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==2
112
111n i i
n i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。通常所说的标准误差,实际上就是x S 。 5.算术平均值的标准差
算术平均值的标准差与实验标准差的关系为
x x S n
S ∙=1
X n
X ∆∙=
∆1
而且x S X 80.0≈∆。
二、间测量的误差计算(误差的传递)
上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的,在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道,间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差,它们之间的这种关系叫误差的传递,相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式,然后再将其运用于一些具体情况。
1.误差传递公式的一般形式
设间接测量量f 与彼此独立的直接测量量x 、y 、z (只取3个)间的函数关系为 ()z y x f f
,,=
测量结果用平均值和绝对误差表示为 x x x ∆±=
y y y ∆±= z z z ∆±= 和 f f f ∆±=
其中,(
)
z y x f f ,,=。
将()z y x f ,,在()z y x ,,点按泰勒级数展开有
()()
()
()()
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∙∂∂+-∙∂∂+
-∙∂∂±=z z z f
y y y f x x x
f z y x f z y x f ,,,, +…(高阶小量)
将此结果与前面假定关系式f f f ∆±=比较,忽略高阶小量,并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值,取间测量的绝对误差为 z z
f
y y f x x f f ∆∙∂∂+∆∙∂∂+∆∙∂∂=∆ 相对误差为
z z
f
y y f x x f f
f ∆∙∂∂+∆∙∂∂+∆∙∂∂=
∆ln ln
ln
根据标准差的定义,由上述展开式,在考虑到z y x ,,是彼此独立的情况,可得标准差的传递公式的绝对形式为
2
2
22
22
z y x f z f y f x f σσσσ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 相对形式为
2
2
22
22
ln ln ln z y x f
z f
y f
x f f σσσσ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂= 其中
x f ∂∂、x
f
∂∂ln 分别为x f ∂∂、x f ∂∂ln 在()
z
y x ,,
为了较好地使用标准误差的传递公式,需要说明的是: (1)如果f 由z y x ,,按加(减)
(2)如果f 由z y x ,,按乘(除)
(3)如果z y x ,,彼此不独立,还需计算相关系数(协方差)。例如:若y x f ∙=,当y
x =