最新挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题

典型例题

例1．如图，抛物线：y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1，﹣2）

（1）求过A、B、C三点的圆的半径．

（2）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标．

（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2），∴AB=3﹣（﹣1）=4，

AC==2，BC==2，∴AB2=16，AC2+BC2=8+8=16，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2；

（2）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等，

∴点P的横坐标为4或﹣4，∴y=×42﹣4﹣=，或y=×42+4﹣=，

∴点P、E的坐标为P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，），

②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB，∴PE与x轴的交点坐标D（1，0），

过点P作PF⊥AB，则OD=FD，∴点F的坐标为（2，0），∴点P的横坐标为2，

y=×22﹣2﹣=﹣，∴点P的纵坐标为，∴点P、E的坐标为P3（2，﹣）、E3（0，），

综上所述，点P、E的坐标为：P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）或P3（2，﹣）、E3（0，）．

例2．将抛物线沿c

：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．

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（1）请直接写出拋物线c2的表达式．

（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

（1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式；

（2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当BD=AE时两种情况讨论求解；

②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出．

方法二：

（1）求出翻折后抛物线顶点坐标，并求出抛物线表达式．

（2）①抛物线c1平移m个单位长度后，求出点A，B，D，E的坐标，并分类讨论点B在点D 左侧和右侧的两种情况，进而求出m的值．

②以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，则AN⊥EN，利用黄金法则二，可求出m的值．

【解答】方法一：

解：（1）y=x2﹣．

（2）①令﹣x2+=0，得x1=﹣1，x2=1

则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0）．

∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）．

当AD=AE时，（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，

∴m=．

当BD=AE时，（1﹣m）﹣（﹣1+m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=2．

故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2．

②存在．

理由：连接AN，NE，EM，MA．依题意可得：M（﹣m，），N（m，﹣）．

即M，N关于原点O对称，∴OM=ON．

∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE

∴四边形ANEM为平行四边形．

∵AM2=（﹣m﹣1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，

AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1，

此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°．

∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．

（1）略，

（2）①抛物线C1：y=﹣x2+，

与x轴的两个交点为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，），抛物线C2：y=﹣x2﹣，

与x轴的两个交点也为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，﹣），抛物线C1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为（﹣m，），与x轴的两个交点为A（﹣1﹣m，0）、B（1﹣m，0），AB=2，抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为（m，﹣），与x轴的两个交点为D（﹣1+m，0）、E（1+m，0），∴AE=（1+m）﹣（﹣1﹣m）=2（1+m），B、D是线段AE的三等分点，有两种情况．

1、B在D的左侧，AB=AE=2，AE=6，

∴2（1+m）=6，m=2，

2、B在D的右侧，AB=AE=2，AE=3，

∴2（1+m）=3，m=．

（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，

∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣）、M（﹣m，），

∴点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称，

∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形，

则AN⊥EN，K AN×K EN=﹣1，

∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣），

∴=﹣1，

∴m=1．

强化训练

1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B （3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；（3）连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？