数字信号处理知识点 整理 Chapter 3

第三章 自适应数字滤波器

3.1 引言

滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。

维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。

本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．

。 3.2 自适应横向滤波器

自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．

。 3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器

自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：

()()()1

N m y n w m x n m -==

-∑

n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为

T T j j

j y ==X W W X 式中

1212,,,,

,,,T

T

N N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦

W X L L

误差信号表示为

T T j j j j j

j j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：

()

2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦

R W W R W

2

j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数

．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221

222,,,

T

j j j j xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦

R W R L

令梯度为零，可得最佳权系数

此时最小均方误差为：

22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦

W R 要求2min

j E

e ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*

W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。 3.2.2 性能函数表示式及几何意义

3.2.3 最陡下降法

3.2.1给出了要求2min

j E

e ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。 工程上常采用牛顿法和最陡下降法搜索最佳值。 用最陡下降法搜索最佳权系数：

其中μ是调整步长。该式表示下一个权矢量1j +W 等于现在的权矢量j W 加上一个正比于负梯度的变化量。 1. 最陡下降法递推公式*

()12222*

j j dx xx j

xx j xx W W μμμ+⎡⎤=+-=

-+⎣

⎦R R W I R W R W 两边同时减去最佳权矢量*

W ，令*j

j V =W -W 为权偏移量：

12j xx j μ+⎡⎤=-⎣⎦V I R V

11,T xx xx --===R Q ΛQ Q ΛQ ΛQ R Q

1111

122j j j μμ----+⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦

Q V Q I ΛQ V I ΛQ V 令1,j

j j j -==V'Q V V QV'可得

()()1022j

j j μμ-=-=-V'I ΛV'I ΛV'

()()02**

j

T j μ=+--W W Q I ΛQ W W

2. 收敛条件

要使*j

→W W ，需满足

2lim j

j μ→∞⎡⎤-=⎣

⎦I Λ0 2μ-I Λ是对角矩阵，对角线元素为12i μλ-，既有

3. 过渡过程

保证收敛的条件下，μ越大收敛越快，波动越大；μ越小收敛越慢，轨迹越平滑。 在实际应用中，通常取

21

0j NE x μ<⎡⎤⎣⎦

=

其中N 便是滤波器的长度，2

j

E x ⎡⎤⎣⎦

表示信号的平均功率，一般用所有样本的时间平均代替。 3.2.4 最小均方（LMS ）算法

上节提到的最陡下降法要求求出均方误差的梯度，这一点很难精确求得，因此采用一条样本曲线对均方误差梯度进行估计，这便是LMS 算法。 1. LMS 算法的权值计算

均方误差的梯度可用 22221

2,,,

T

j j j j N E e E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤∇=⎣⎦⎣⎦∂∂∂⎢⎥⎣⎦

L 来表示；

作为对均方误差的的估计，用

222

2

12,,,T

j j j j N e e e e w w w ⎡⎤∂∂∂⎡⎤∇=⎢⎥

⎣⎦∂∂∂⎢⎥⎣⎦

L 来表示。

22ˆj j j j e e ⎡⎤∇=∇=-⎣⎦

X ，是对均方误差的无偏估计。 递推公式：

2. LMS 算法加权矢量的过渡过程

2j j e X 是随机变化的，LMS

算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的，其统计平均值

等于最陡下降法加权矢量。

3. LMS 算法性能函数的过渡过程

4. 稳态误差和失调函数

失调系数

1

min

min N

xx i i M tr ζζμμλζ=-⎡⎤===⎣⎦∑R

3.3 自适应格型滤波器

自适应格型滤波器收敛速度快，滤波器节点数易改变，一个m 节的格型滤波器可以产生相当于从1阶到m 阶的m 个横向滤波器输出。 3.3.1 前、后向线性预测误差滤波器 1. 前向线性预测误差滤波器