弹性力学及有限元方法-空间问题

• 单元内位移场由节点位移插值表示为：
• 如假定位移为坐标的线性函数，形函数矩阵 [N]与平面三角形单元的完全相同，只不过 需将其中的坐标x改为r，y改为z，即：
其中D为单元的三角形面积，其他系数为：
• 由平面问题的分析可知，这种形状函数是 满足单元收敛的充分必要条件，故有限元 分析结果ຫໍສະໝຸດ Baidu收敛于真解。
• 但这里表面压力与离心力的分配计算都有 其特殊性，现说明如下：
1．表面压力
• 如图，此面分布力分配 到e单元各节点的单元节 点载荷为：
• 注意到受载荷作用面为 旋转面，其面积元素可 写为：
• 则有：
• 其中 Le 为截面中三角形单元上受面积力作用 s 的一个边。 • 对图4－4问题，由于形状函数Nn在lm边上的值
• 同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a9到 a12 ,为：
• 用矩阵记法统一表达为：
• [N]为形状函数矩阵，可表示为：
• [I]为三阶单位矩阵，而各节点的形状函数 可按下式计算得到，即
• 如记矩阵
为四面体单元的体积，其他系 数皆可由[L]确定，如
• 为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样 可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等， 它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数 余子式。
本章要点
1. 几何方程、物理方程恢复实际问题都是三维问题的 本来面目； 2. 简单四面体单元：单元形状、节点数及节点自由度、 形状函数仍是位移场的线性插值表达； 3. 方法过程是平面问题的直接推广； 4. 轴对称问题，对几何和受载方面的特点； 5. 轴对称问题简单三角形单元与平面问题单元的类似 性及不同点； 6. 其特殊性：在载荷向节点移置上有点特殊。体会到： 一点代表一节圆；一线段代表一节圆面；一小面积 代表一节圆体。由此导致的数值积分的特殊性。
• 可见离心力只分配为径向的节点载荷，而 轴向节点载荷项皆为零。
4．5 求积问题
• 计算单元刚度矩阵以及单元节点载荷时，常要 计算三角形域内的面积积分，其形式为
• 一般情况下，上式应采用适当的数值积分。对 简单三角形单元，上述积分可直接近似求得。 如当单元较小时，可取：
• 其中D为三角形单元的面积，而fl、fm、fn则为被 积函数f(r，z)在l、m、n 此3点的值。这也就是在 求积时，将被积函数f(r，z)近似取为l、m、n 这3 点处函数平均值来处理。
• 在讨论了单元刚度矩阵及外载荷向节点的移置的计 算公式后，由单元刚度阵去形成整体刚度矩阵及整 体节点载荷向量的形成过程与前平面问题相比无逻 辑上的差别。只要在“对号入座”的过程中注意在 此每单元有4个节点，每节点有3个自由度即可。 • 关于边界条件、约束情况的处理也与前完全类似。
• 因此，下面再讨论某种有限元的时候，我们就不再 讨论“单元”到“整体”的形成过程了。我们知道： 只要在单元水平讲清该单元的节点数、节点自由度、 形状函数及单元刚度阵等单元的特征就已经完全表 达清楚了此单元的特点了。
0
y
0
x z
0
0 0 u z v 0 w y x
• 应力矢量定义为：
• 物理方程为：
• 弹性矩阵[D]的一般形式为教材中(4-4)式。
2 简单四面体单元
2．1 形状函数 一般的三维结构，都可以划分成很多小的 四面体，为四面体单元。大量的小四面体 单元拼合起来，可以逼近任意形状的实际 三维结构体。 简单四面体单元如下图，其中4个节点编号 设为k、l、m、n。单元变形时，各节点都 有沿x、y、z的3项位移，单元有4个节点， 共有12项节点位移，合起来以列阵表示为：
4．2 应变与应力
– 将假定的位移代入式(4．12)，得到单元内应
变为：
– 将应变矩阵[B]按节点分块表示为：
– 由(4．12)，得到应变矩阵[B]中任一子矩阵 [Bi] 为：
• 其中bi、ci及D如前，而
• 按物理关系式，有应力 • 注意轴对称问题三角形单元的形函数虽与平面
问题三角形单元相同，但其应变、应力则不相
• 有时也可将变量r、z取为
• 即将被积函数取为单元中心点的数值fc，求积时 作为常值处理，则近似有：
• 作为更精确一点的近 似，可以将三角形的 单元划分成4个相等 的小三角形区域(图 4—6)。整个单元的积 分应为此4个分区域 内积分之和。而在每 个小三角形区域内， 又可以采用前述的方 法近似求积。
2．2 单元刚阵 • 将表达式(4．6)代入几何关系式(4．2)，经 过微分运算，可以得到单元内应变为
其中应变矩阵[B]是形状函数矩阵经微分算
子矩阵作用所得的结果。[B]中任一个子矩
阵[Bi]的显式应为：
由V及bi、ci、di等式可见前式，这里[Bi]的每 项元素都是由节点坐标决定的常数。因而简 单四面体单元内，各点的应变都是一样的， 这是一种常应变单元。
• 计算单元刚度矩阵的公式如前仍为：
• 这里Ve为单元体积．由于简单四面体单 元为常应变单元，故积分结果为：
• 按节点分块，此单元刚阵可以表示为：
• 其中任一个子矩阵为：
2．3 载荷分配
• 三维弹性体内如受有均布的体积力(如重力)作用， 对于这种简单的四面体单元，可以逐个单元计算 出整个单元的全部体积力，再平均分配到4个节 点上，即每个节点分配1／4的单元体积力。
3 轴对称问题
• 前已讲过轴对称问题。其结构几何特征是 旋转体，即几何形状对称于中心轴。如果 旋转体所受的载荷也对称于中心轴，则其 变形也是对称于此轴的。工程中常见的旋 转轴、轮盘、受均匀压力的旋转体容器等， 都属于轴对称问题。
• 如图4· 2，取柱坐标作为 参考系。结构受载荷而 产生轴对称变形时，其 位移、应变、应力都与 角坐标q无关，而只是径 向坐标r与轴向坐标z的函 数。阴影部分为通过中 心轴的平截面(子午面)。 轴对称变形的每个子午 面的变形在柱坐标系内 是完全一样的。因而， 结构虽处于三维应力状 态，但可以只研究其任 一个子午面内的情况。
• 对于这种简单的四面体单元，其内部位移 可假设为坐标的线性函数．为满足完备性 条件，应取为
• 上式含12个a参数，可以由单元的12项节点位 移确定。将4个节点的坐标值代入(4．5a)中 的u式，在k、l、m、n 4个节点上，分别有
• 由式(4．5b)求出al、a2、a3与a4，再代回 式(4．5a)，整理后得：
2．离心力 • 如旋转体绕中心轴z转动的角速度为w， 则体内任一点处单位体积的离心力大小 2 r ，沿半径方向而指向外，是一 为 种体积分布力。 • 按体积分布力移置公式，e单元的离心力 分配到e单元各节点的单元节点载荷为：
• S 为子午截面上单元三角形面积域。
e
• 将形状函数矩阵[N]的分块表达式代入上 式，可得：
• 在通常的右手坐标系xyz中，按上式 计算时，四面体单元的4个节点排列 的顺序应按右手规则，以使体积V为 正。即由n点看klm平面，应使k、l、 n为逆时针排列。
• 简单四面体单元内，位移是坐标的线性函数， 单元体的任一三角形界面，变形后仍保持为 一平面，且由该面上3个节点的位移决定。 因而相邻两单元的三角形交界面上，在变形 过程中，其位移是一致的，即两相邻单元的 位移在交界面上是连续的，单元满足相容性 条件。简单四面体单元的形状函数满足完备 性又满足相容性要求，因而用此单元分析三 维变形问题时，能收敛于精确解。
空间问题的有限单元法
1 空间问题——三维应力状态
• 实际问题本质上都是立体的、空间的。对承受 载荷的弹性体，应有三维应力状态。对弹性体 内每点的位移，有u、v、w分别代表对应空间 坐标系x、y、z方向的位移。 u、v、w本身也代 表弹性体内的位移场，即它们都是物体内有效 的空间坐标的函数，一般可以表示为：
同的。这里不仅有环向应变q及环向应力sq，而 且单元内应、应力并非常值，是r、z的函数。
4．3 单元刚阵
由于一个三角形单元实际上代 表一个环状的单元体，计算单 元刚阵时，Ve为图4－3所示的 环状单元体积域。由于单元为 一旋转体，其体积元素应为： 故单元刚度阵： 计算式为：
4．4节点载荷 • 轴对称结构常受有内外表面的分布压力以 及结构旋转时由离心力而形成的体积分布 力，这些分布载荷均应在每个单元内，按 做功等效的原则，分配到相应的节点上， e 形成单元节点载荷 Q ，再叠加成整个结 构的载荷{Q}。这与前方法是一致的。
• 其物理关系矩阵[D]仍见教材p69.。
4 轴对称问题的简单三角形单元
4．1 形状函数
• 轴对称问题的分析，转化为对其任一个子午面 的分析，可将此截面剖分为许多三角形单元， 可构造与前平面问题类似的简单三角形单元。 • 单元有3个节点，每节点有沿r及z的两项位移u 及w。单元有6个自由度。单元节点位移可以列 阵表示为：
• 如果单元的某个表面作用有均布的面积力(如气 体压力)，也可将此面上的全部面积力平均分配 到相应的3个节点上，即每个节点分配到三角面 上面积力总和的1／3。如果体积力、面积力不是 均布的，则不应平均分配，而应按做功相等的原 则等效分配。
• 注意前泛函P计算公式中关于外力功 的表达，有：
为e单元内分布体积力和分布 面积力分配到单元节点的载荷，{q}和 {p}分别为单位体积力和单位面积力。
• 轴对称问题中，上述截面内任一点p，实 际上代表一个半径为r的圆周(图4-2)，当 此圆周上各点都有径向位移u时，圆周被 拉伸，多出一个环向应变q。有：
• 全部应变的4项分量与两项位移分量之间 的几何关系（几何方程），以矩阵表示为:
• 轴对称问题的4项应力分量，以列阵表示为：
• 轴对称问题的应力与应变间的物理关系仍写为：
• 完成积分运算后得： 可见在轴对称情况下， 单元lm面上的均布载 荷p向l、m节点分配的 载荷并不相等的。
• 这两个单元节点载荷的和应等于作用在圆环面 均布载荷的总和，即
• 还应注意，由于单元上的一个节点实际 上代表一个节圆，因此，这里分配到单 元节点上的各项载荷，都是沿节圆均匀 分布力的总和，而不一定是合力。
• 简单四面体单元公式简单，但是精度比较低， 单元内应力为常值且单元间应力不连续。为得 到一定准确度的结果，往往要求将单元划分比 较小，增加了整个问题求解的自由度，总的计 算效益是不理想的。 • 但是，能很好的逼近任意几何形状是它的突出 优点，是目前大型CAD软件所附的结构分析模 块的网格自动划分功能的常用单元。 • 对三维问题的有限元分析，一般多采用复杂一 些的、精度高一些的单元(如后的三维等参单 元)，其综合效益会更好。
为零，故作用在lm边上的分布载荷分配在n节
点上的载荷亦为零，故此单元节点载荷为：
• 工程结构常受有面分布的压力．其方向与受力 面垂直，当单元受力边 Le s 与中心轴z有任意夹 角。(图4—4)时，如巳知法向压力值a，则径向 及轴向力可计算求得，有: • 对于图4—5所示的单元，单元节点载荷为
• 其形状函数在lm边的表达 式为：
u=u(x,y,z)， v=v(x,y,z)，
w=w(x,y,z)。
回顾空间问题的几何方程为：
• 按有限元的习惯写法——算子形式，为：
x x 0 y z 0 xy y yz 0 zx z
• 单元内应变为常值，按物理方程，单元内的 应力也是常值。当然，一般受力情况下，三 维体内有限大小的四面体内的应力并不是常 值，用常应力单元来代替它，只是近似的。 • 对此单元，单元间的应力是不连续的。只有 当单元划分得较小时，单元内的应力才会接 近于常值，此时计算的应力在单元间的不连 续才会比较小，因而可以作为真实应力分布 的近似。 • 一般，把这种单元应力的计算值作为单元中 心一点的应力近似值是比较适当的。
用位移法，就是只研究这个代表截面的位 移求得一个截面的位移分布，也就有了整 个三维结构内的位移分布，从而可以求得 体内任一点的应变及应力。这样，一个三 维问题，就可以转化为一个二维问题。 由于结构的变形是对称于中心轴的，因而 子午面内各点都只有沿径向r的位移u和沿 轴向z的位移w，一般应为截面坐标r，z的 函数，即