误差和不确定度的区别和联系

误差与不确定度的概念比较

实验教学中关于误差和不确定度的区别和联系，是学生感到难以理解并准确掌握的概念之一，本文将对此比较总结如下。

1误差和不确定度的定义

误差的概念各被测量量在实验当时条件下均有不依人的意志为转移的真实大小，此值被称为被测量

的真值。即真值就是被测量量所具有的、客观的真实数值。然而实际测量时，总是由具体的观测者，通过

一定的测量方法，使用一定的测量仪器和在一定的测量环境中进行的。由于受到观测者的操作和观察能力，

测量方法的近似性，测量仪器的分辨力和准确性，测量环境的波动等因素的影响，其测量结果和客观的真值之间总有一定的差异。测量结果与真值的差为测量值的误差，即

测量值(X)-真值(a)=误差(& )

在实验中通常要处理的来源于测量值的误差有两类：偶然误差和系统误差。

对于偶然误差，有算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，相应的误差有标准偏差s，它的定义为

j n

2

(X i X)

s ■- i 1 ---------------------------- (1)

\ n 1

式中n为测量值的个数。对于算术平均值的标准偏差，用来表示算术平均值的偶然误差，表达式为

s(X) s/n -------------------------------------- (2)

二者的统计意义是，标准偏差小的测量值，其可靠性较高。

对于系统误差，不能用统计的方法评定不确定度，首先要对实验理论分析或对比分析之后，可以得知

其系统误差的来源，并可采取一定的措施去削减系统误差。例如由于天平左右臂长不完全相同导致的系统误差，可将物体放在天平左盘、右盘上各称一次取平均去消除，而对于单摆周期与振幅有关，缩小振幅可以减小此项系统误差，在测量要求更高时，可根据理论分析得出的修正公式去补正。

不确定度的概念测量不确定度则是评定作为测量质量指标的此量值范围，即对测量结果残存误差的

评估。设测量值为X ,其测量不确定度为U,则真值可能在量值范围(x-u , x+u)之中，显然此量值范围越窄，即测量不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。

不确定度也有两类：A类标准不确定度和B类不确定度。

(2)式，也可写

由于偶然效应，A类标准不确定度用统计方法来评定，其就取为平均值的标准偏差，即

U A(X) s(x) s/ , n ------------------------------ (3)

B类评定的标准不确定度为

u(x)= △ / . 3

(4) 式又称为仪器的标准误差。该式是根据仪器误差概率密度函数遵从均匀分布规律，由数学计算所得。

式中△为极限误差或仪器误差，是在规定的使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值和被测量真值

之间可能出现的最大误差，其可以从下列几种情况中获得：国家计量技术规范；计量仪器说明书或检定书；

仪器准确度等级；仪器分度值或经验(粗略估计)等。

2二者的比较

不同类型的误差中究竟如何来区分误差和不确定度，表达式等方面有何不同，仍然有很多教材没有说

明清楚。1993年，国际标准化组织颁布了《测量不确定度表达指南》(UGM，1999年，国家技术监督局颁

布了《测量不确定度的评定与表示》(JJF1059-1999)。这两个文件的颁布，标志着我国各技术领域在不确定度的评定和表达方法上，将逐步走向一致，并与国际通行作法接轨。在大学一年级的教学中，可讲授以下相关的问题。

来源方面的比较

对误差的来源可以概括为五个方面：理论；仪器；实验装置；实验条件；观测者和监视器。

误差的来源不同，它对测量的影响不同，不同的来源评定不确定度的方法应不同。从测量值来看其影

响表现可分为两类：一类是偶然效应引起的，使测量值分散开，例如用手控停表测摆的周期，由于手的控制存在偶然性，每

次测量值不会相同；另一类则使测量值恒定的向某一方向偏移，重复测量时，此偏移的方向和大小不变，例如用电压表测一

电阻两端的电压，由于这时偶然效应很弱，反复测量其值基本不变，当用更精密的电势差计去测时，可以得知电压计的示值

有恒定的偏差，这是电压计的基本误差所致，此类误差称为系统误差。前者的标准不确定度为A类评定，后者为B类，以估计残存系统误差的可能范围。

对于多个来源的误差，则用合成标准不确定度评定。这就是下面要讨论的。

标准误差的传递公式与合成不确定度

前面讨论的是直接测量结果及其误差的估算和相应的不确定度，但在实验中大多数物理量的求得，往往是由一些直接测得量通过一定的公式计算得到的。由直接测得量代入公式计算得到的结果，称为间接测

得量。将各个直接测得量的最佳值 (算术平均值)代入测量公式计算，得到的结果称为间接测得量的最佳值。 当测量次数无限增多时，此最佳值与间接测得量的算术平均值是一致的。

由于各个直接测得量的最佳值都有一定的误差，因此，求得的间接测量结果也必然具有误差。表达直 接测量误差与间接测量误差之间的关系式，称为误差传递公式，其表达式摘要如下。

设间接测量N=F(A , B , C ,…)，式中A, B, C,…为各独立的直接测得量，它们分别表示为

A A U A ,

B B U B ,

C C u c 则间接测得量表示为

N N U N ------------------------------------------- (5)

式中N 为间接测得量的最佳值，即

N =F( A , B , C ,…)

U N 为间接测得量的标准误差。经理论计算可以得到间接测得量的标准误差为

F 2

— F 2 — F 2 —

UN [ A ] U2A [ B ]U2B [ C ]U2C

上式称为标准误差的传递公式。

表达式与(7)式相似的，有合成不确定度 u c (x)。对一物理量测定之后，要计算测得量的不确定度,

由于其测得量的不确定度来源不止一个，所以要合成其标准不确定度。计算的方法是方和根法。

对于直接测量，设被测量 X 的标准不确定度的来源有 k 项，则合成不确定度 u c (x)取

上式中的u(x)可以是A 类评定也可是 B 类评定。

对于间接测量，设被测量量Y 由m 个直接被测量x1, x2 ,…，xm 算出，它们的关系为y=y(x1 , x2,…,

xm)，各xi 的标准不确定度为

u(xi)，则y 的合成不确定度u c (y)为

比较(9)式与(7)式，在数学表达式上是一致的。但是

(7)式是计算间接测得量 N 的误差，(9)式是合成

标准不确定度。

对于测得结果的报道通常写为 u c (x) .. u 2(x)i

X i 1

(8)

f m u c (y)

,i 1[y i ]u 2(x i ) (9)