离散数学试题与答案

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试卷二试题与参考答案

一、填空

1、 P ：你努力，Q ：你失败。

2、 “除非你努力，否则你将失败”符号化为；

“虽然你努力了，但还是失败了”符号化为。 2、论域D={1，2}，指定谓词P

则公式x ∃∀真值为。

3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R=

（列举法）。

R 的关系矩阵M R =

。

4、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系

R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。

5、设代数系统，其中A={a ，b ，c},

则幺元是；是否有幂等性；是否有对称性。 6、4阶群必是群或群。 7、下面偏序格是分配格的是。

8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为，欧拉图的充要条件是。

二、选择

1、在下述公式中是重言式为（）

A ．)()(Q P Q P ∨→∧；

B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔；

C ．Q Q P ∧→⌝)(；

D ．)(Q P P ∨→。

2、命题公式 )()(P Q Q P ∨⌝→→⌝ 中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。

3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S

D ．8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ⨯上的等价关系

},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=则由 R 产生

D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为

6、设 ,+ 为普通加法和乘法，则（）>+< ,,S 是域。 A ．},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B ．},,2|{Z b a n x x S ∈==

C ．},

12|{Z n n x x S ∈+== D ．}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。

7、下面偏序集（）能构成格。

8、在如下的有向图中，从V 1到V 4长度为3 的道路有（）条。

A ．1；

B ．2；

C ．3；

D ．4 。 9、在如下各图中（）欧拉图。

10、

10、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统是（）。

)},,,(),(|,{R b c R c a A c A b a b a S >∈<>∈<∈∧∈><=且有对于某一个

试证明若R 是A 上一个等价关系，则S 也是A 上的一个等价关系。 2、用逻辑推理证明：

所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。

3、若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。

4、设G 是具有n 个结点的无向简单图，其边数2)2)(1(21

1、设是一个群，这里+6是模6加法，Z 6={[0 ]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试求出的所有子群及其相应左陪集。

2、权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。

3、R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,

<5,2>,<5,3>,<5,4>,<5,5>,<5,6>}；

⎛0000011111110001111111111

4、R={<1,2>,<1,3>,<2,1>}；R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}

A a ∈∀，由R 自反，),(),(R a a R a a >∈<∧>∈<∴，S a a >∈∴<,

（2） S 对称的

传递

对称定义R S

a b R R b c R c a S R b c R c a S b a A

b a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<⇒>∈<∈∀,),(),()

c a R R c b R b a R c e R e b R b

d R d a S

c b S b a A

c b a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<∈∀,),(),(),(),(),(),(,,,,

由（1）、（2）、（3）得；S 是等价关系。 2、

证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x 很有风度； S(x)：x 是个学生； a ：王华上述句子符号化为：

前提：))()((x Q x P x →∀、)()(a P a S ∧ 结论：))()((x Q x S x ∧∃ ……3分

①)()(a P a S ∧ 前提引入 ②))()((x Q x P x →∀ 前提引入 ③)()(a Q a P → ②US ④)(a P ①化简 ⑤).(a Q ③④假言推理I ⑥)(a S ①化简 ⑦)()(a Q a S ∧ ⑤⑥合取 ⑧)()((x Q x S x ∧∃

⑦EG

……11分

３、证明：)(,,2121b b B b b ≠∈∀A a a f ∈∃∴21,满射

21212211,),()(,)(,)(a a f a f a f b a f b a f ≠∴≠==是函数由于且使 )()()(),()(),()})(()(|{)()},)(()(|{)(21122122112211b g b g b g a b g a b g a b g a b x f A x x b g b x f A x x b g ≠∴∉∉∈∈∴=∧∈==∧∈=但又

为单射任意性知由g b b ,,21。

4、证明：设G 中两奇数度结点分别为u 和v ，若 u ，v 不连通，则G 至少有两个连通分支G 1、G 2 ，使得u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2中各含有1个奇数度结点，这与图论基本定理矛盾，因而u ，v 一定连通。

5、证明：证G 中任何两结点之和不小于n 。

反证法：若存在两结点u ，v 不相邻且1)()(-≤+n v d u d ,令},{1v u V =，则G-V 1是具有n-2个结点的简单图，它的边数

n n m ，这与G 1=G-V 1为n-2个结点为简单图的题设矛盾，因而G

中任何两个相邻的结点度数和不少于n 。所以G 为Hamilton 图.

四、计算

解：子群有<{[0]},+6>；<{[0],[3]},+6>；<{[0],[2],[4]},+6>；<{Z 6},+6> {[0]}的左陪集：{[0]}，{[1]}；{[2]}，{[3]}；{[4]}，{[5]} {[0]，[3]}的左陪集：{[0]，[3]}；{[1]，[4]}；{[2]，[5]} {[0]，[2]，[4]}的左陪集：{[0]，[2]，[4]}；{[1]，[3]，[5]} Z 6的左陪集：Z 6 。