第8章：解析几何两条直线的交点坐标与距离公式

返回目录

新 课 标 资 源 网
＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1), | 2k - 3 + k + 2 | | -4k - 5 + k + 2 | = 2 即kx-y+k+2=0.由题意知 k +1 k2 +1
n 又- 8=-1,∴n=8.
即m=0，n=8时,l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
返回目录

新 课 标 资 源 网
考点二 距离公式的应用
已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1：x+y+1=0，l2： x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.
老 师 都 说 好 !

新 课 标 资 源 网
【解析】①由
m+3 4 3m - 5 ，得m=-7, = ≠ 2 m+5 -8
∴当m=-7时,l1∥l2. ②由
m+3 4 3m - 5 ，得m=-1, = = 2 5+m -8
∴当m=-1时，l1与l2重合.
老 师 都 说 好 !
m+3 4 ≠ ③由 ，得m≠-1且m≠-7, 2 5+m
1 . 3 1 ∴直线l的方程为y-2=- (x+1), 3
老 师 都 说 好 !
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-
即x+3y-5=0. 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意. 返回目录

新 课 标 资 源 网
解法二:当AB∥l时,有k=kAB=- 1，直线l的方程为y-2= 3 - 1 (x+1),即x+3y-5=0.
老 师 都 说 好 !
1.两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 ) + (y 2 - y 1 ) .
2
2
2.点到直线的距离 平面上一点 P(x ,y )到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C | 1 1
0 0
老 师 都 说 好 !
返回目录

新 课 标 资 源 网
【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
老 师 都 说 好 !
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 y1 - 3 x1 =-1 x1=2 得 B(x1,y1)一定在l2上,由 y 1 + 3 x1 y1=1, = +1 2 2 即B(2,1). 1+1 ∴l2的方程为y-1= (x-2),即x-2y=0. 2+2
代入直线l1:y=2x+3得x+1=2〓(y-1)+3, 整理得x-2y=0. ∴所求直线方程为x-2y=0.
{
{
x0=y-1 y0=x+1,
返回目录

新 课 标 资 源 网
解法三: 由
{
y=2x+3 y=x+1 知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),
∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0.
(2)可利用垂直直线系方程求解.
返回目录

新 课 标 资 源 网
【解析】解法一:先解方程组3x+2y-1=0
3 5x+2y+1=0,得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为 5 求
出l的斜率为5 ,于是由直线的点斜式方程求出 3
老 师 都 说 好 !
l:y-2=-
5 (x+1),即5x+3y-1=0. 3
老 师 都 说 好 !
C.x+y-1=0
返回目录

新 课 标 资 源 网
老 师 都 说 好 !
B（l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2 上，故l与l1的交点（1，0）在l2上.又易知（0，-2）为 l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则 x+0 y-2 x=-1， 2 2 -1=0， 得 即（1，0）， y+2 y=-1. × 1 =-1, x （-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.
新 课 标 资 源 网
【评析】 (1)对称问题是解析几何中的一个重要题型, 是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对称常转化为曲 线上的点关于直线对称来解决.求点P(x0,y0)关于直线 l:Ax+By+C=0的对称点Q(x1,y1)的坐标,可利用PQ⊥l及线 段PQ被l平分这两个条件建立方程组求解,本题解法二就 是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法 解题的.这是解这类问题的一个通法. (2)两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论： ①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y); ②点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y); ③点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y); ④点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x);
的解，
A2x+B2y+C2=0
返回目录

新 课 标 资 源 网
其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ， ② 当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（或B1C2-B2C1≠0）时,两 平行 条直线无交点,即 ，③当A1B2-A2B1=0且A1C2A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点, 重合. 即 二、距离公式
老 师 都 说 好 !
在直线l上任取一点(1,2), 由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,
由点到直线的距离公式得
| k - 2 + 2k - 1 |
2 2
1 +k 2 + (-1) 1 解得k= (k=2舍去),∴直线l2的方程为x-2y=0. 2
=
| 2-2+3|
2 2
,
返回目录

∴当m≠-1且m≠-7时，l1与l2相交. ④由(m+3)· 2+4(m+5)=0,得m=13 ∴当m=- 时，l1与l2垂直. 3 13 , 3
返回目录

新 课 标 资 源 网
【评析】（1）垂直有两种情况：一种是一条直线 的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；另一种就是斜 率都存在，且两个斜率的积为-1. （2）两条直线平行有两种情况，一种就是斜率都 不存在；另一种就是斜率都存在并且相等.

新 课 标 资 源 网
学案2 两直线的交点坐标与
老 师 都 说 好 !
距离公式

新 课 标 资 源 网
老 师 都 说 好 !
一、两直线的交点 已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{
A1x+B1y+C1=0
返回目录

新 课 标 资 源 网
（1）∵m2-8+n=0,且2m-m-1=0,∴m=1,n=7. （2）由m· m-8〓2=0，得m=〒4, 由8〓(-1)-n·m≠0,得n≠〒2, 即m=4,n≠-2时，或m=-4,n≠2时，l1∥l2.
老 师 都 说 好 !
（3）当且仅当m· 2+8· m=0，即m=0时，l1⊥l2，
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
老 师 都 说 好 !
{ {
3k - 2 1 - 4k y=k(x-3)+1 , 解得 A ( k + 1 k + 1 ).
x+y+1=0, y=k(x-3)+1 解得
x+y+6=0,
3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
y1），B（x2，y2）， 则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0， 两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5， ① ② 又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25， 联立①②可得
老 师 都 说 好 !
{
x1-x2=5
y1-y2=0
或
{
x1-x2=0
y1-y2=5.
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°. 故所求的直线方程为x=3或y=1.
（3）两条直线重合即方程是相同的.
老 师 都 说 好 !
返回目录

新 课 标 资 源 网
＊对应演练＊
已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定
m,n的值，使
（1）l1与l2相交于点P(m,-1);
老 师 都 说 好 !
（2）l1∥l2; （3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
返回目录

新 课 标 资 源 网
老 师 都 说 好 !
【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
返回目录

新 课 标 资 源 网
解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直线, 而l过l1,l2的交点(-1,2),故5〓(-1)+3〓2+C=0,由此求出 C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0. 解法三:∵l过l1,l2的交点,故l是直线系
老 师 都 说 好 !
【分析】可设点斜式方程，求与两直线的交点.利用 两点间距离公式求解.
【解析】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的 方程为x=3，此时与l1，l2的交点分别是 A（3，-4），B（3，-9）， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5，符合题意. 返回目录

新 课 标 资 源 网
3
当l过AB的中点时，AB中点坐标为 （-1,2）,
∴直线AB的方程为x=-1.
老 师 都 说 好 !
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
返回目录

新 课 标 资 源 网
考点三
对称问题
求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
返回目录

新 课 标 资 源 网
考点一 两直线位置关系的判定
老 师 都 说 好 !
已知直线l1:(m+3)x+4y=5-3m,l2:2x+(m+5)y=8,问m为 何值时: ①l1∥l2;②l1与l2重合; ③l1与l2相交;④l1与l2垂直. 【分析】利用两直线平行、重合、相交、垂直的条 件求解. 返回目录
{
{
返回目录

解法二:设所求直线上一点P(x,y),
新 课 标 资 源 网
则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称. 由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点
老 师 都 说 好 !
x + x0 y + y 0 , 2 2 )在直线l上. P2( y0 - y · 1=-1 x0 - x ∴ 变形得 y + y 0 x + x0 , = +1 2 2
{
{
故应选B.）
返回目录

新 课 标 资 源 网
考点四
直线系方程的应用
求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
老 师 都 说 好 !
【分析】 (1)先求出直线l1与l2的交点,然后利用点 斜式求出直线方程.
由两点间的距离公式,得 1 - 4k 1 - 9k 3k - 2 3k - 7 2 ( ) +( )2=25, k +1 k +1 k +1 k +1 解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l的方程为x=3或y=1. 返回目录

新 课 标 资 源 网
解法二：设直线l与l1，l2分别相交于A（x1，
d=
A2 + B2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
. 返回目录

新 课 标 资 源 网
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
(1)求一条直线上一点到另一条直线的距离.
(2)设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则
老 师 都 说 好 !
C1 - C 2
d=
A2 + B2 .
老 师 都 说 好 !
⑤点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x).
返回目录

新 课 标 资 源 网
＊对应演练＊
已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称, 则l2的方程是（ ） A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 D.x+2y-1=0