平面镜像法

0, 0 O h
• q
x2 y2 (z h)2
• 导体表面感应电荷密度：
s
s
0
n
0
z
z0
2
(x2
qh y2
h2 )3/2
• 导体表面感应电荷总量：
qin
S
swenku.baidu.comS
qh
2
2 dd 0 0 ( 2 h2 )3/2
qh
( 2 h2 )1/ 2
q
0
导体表面感应电荷总量= 镜像电荷的大小 Note:上述等效仅对导体平面的上半空间成立 （上半空间成立的源及边界条件未变）
电场分布
电场与电位分布
点电荷的平面镜像法
⒉ 两相交成直角接地导体平面的点电荷镜像：
z
0,
0
q
O
ˉ
角域内任意点P电位：
0, 0
-q
z R4
0, 0
R3
O
P
R1 q
R2
q
-q
0, 0 0, 0
q (1 1 1 1 ) 4 0 R1 R2 R3 R4
直角导体域内的电场与电位分布
结论
只要角域的角度
第 2 章 静电场
2.9 镜像法
Methods of Images
•镜像法：用一个或几个虚设的集中等效电荷代替媒质分界 面上复杂分布电荷的作用，将有界空间转为无限大的自由空 间，保持原来的边界条件不变。
• 镜像法的依据：唯一性定理
• 镜像电荷：- 在求解区域外配置的等效电荷 - 处于镜像位置 - 保持原来的边界条件不变
• q
系统边界上 R = R = R0
q q q q 0
4 0 R0 4 0 R0 4 0 R0
镜像电荷大小 镜像电荷位置
q q
镜像对称
• z > 0 空间任意点电位：
q q
4 0 R 4 0 R
q 1
1
4 0 x2 y2 (z h)2
zR
(x,y,z)
•q
0, 0
h R
n
( n=2,3,4, …)
都可用镜像法求解，镜像电荷的总数为（2n-1）
-q
q
60
0, 0
2n
1
2
/
3
5
q
q
60
0, 0
0, 0
-q
-q
q
⒊ 无限大接地导体平面的线电荷镜像：
z
• l
0, 0
h
O
x
ˉ
z
• l
0, 0
h
0, 0 O h
x
• -l
系统边界条件： ( x,y,z )z=0= 0
z > 0 空间电位方程（（0,y,h)点除外）：
2 = 0
无限长
l
产生的电场：
E a
l 20
l 单独产生的电位：
1
l 2 0
ln
h R
-l 单独产生的电位：
2
l ln 2 0
• z > 0 空间任意点电位：
zR P
• l
0, 0
h
0, 0 O h
R
x
• -l
h
R
1 2
l 2 0
(ln
• 难 点： 确定镜像电荷的大小和位置 • 局限性： 对某些特殊的边界及特殊的电荷分布才能
确 定镜像电荷
第 2 章 静电场
2.9 镜像法
2.9.1 平面镜像法
平面镜像法 Infinite Conducting Plane
⒈ 无限大接地导体平面的点电荷镜像：
z
+q +
系统边界条件：
0, 0
h
( x,y,z )z=0 = 0
平O面导体 x
z > 0 空间电位方程：
2Φ q (x) ( y) (z h) 0
点电荷在导电平面边界产生异性 感应电荷 用镜像电荷代替
平面导体的镜像
保持系统边界条件不变
• z > 0 空间任意点电位：
zR
q q
4 0 R 4 0 R
•q
0, 0
h R
0, 0 O h
系统边界条件： ( x,y,z )z=0 = 0
h R
ln
h ) R
l 2 0
ln
R R
式中
R x2 (z h)2 R x2 (z h)2