第四章 立体表面交线的投影

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6 ’( 7 ’) 8 ’( 9 ’)
10’
4 ’( 5 ’)
7 ’’
5 ’’
9 ’’ 1 0 ’’
4 ’’
8 ’’
6 ’’
9
7
5
3
10
1
2
8
4
6
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6.擦去被截切部分 按虚实加深图线.
(3) 圆球截交线：
1、平面与圆球相交，截交线的空间形状永远是圆。 2、由于截平面与投影面的相对位置不同，其截交 线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线段。
5、截交线作图分析
求作平面立体的截交线首先应掌握在立体 表面上找点的方法，并能根据所给出的视图 确定要找的点。 平面立体截交线上的点可以分为： 1.棱线的断点，如图中的1、2、3、4点， 作图时此类点比较容易确定 2.截平面与立体表面交线的两个端点，如 图中的5、6点。作图时一般要根据视图确定 点的位置。 3.两截平面交线在立体表面上的两个端点，如三棱锥上 的A、B点。
截交线 截平面
截交线与截断面
1.截交线的特点
截平面
截交线是立体表面与截平面的共有点的连线; 截交线必为一条封闭的平面折线(多边形)。 截交线的形状取决于立体表面的形状和截平 面与立体的相对位置。
截交线
求截交线可归结为求截平面与立体表面 共有点、线的问题。
截切体
2.截交线的求法
棱线法： 求各棱线与截平面的交点； 棱面法： 求各棱面与截平面的交线。
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例1、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 （1）先求特殊点。 （2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
2’
5’ 1’ 6’ 3’ (4’) 2
（3）依次连接各点的水平投影。
4
6 4 2 3 1 3
1 5
平面与球相交
求半圆球被截切后的H、W面投影。
解题步骤：
1.先求出未截切时 的另二投影。
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析: 截交线的正面投影为双曲线.
作图: 1 、求特殊点。 最高点 最低点 2 、求一般点。
3 、连线。
例4:圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
3’ 2’ 1’ 5” 4” (4’) (5’) 3” 2” 1”
（2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
练习1. 求正四棱柱被截切后的 V H 投影。
、
1’ 3’ 5’
2’ 4’ 6’ 9 ’
1”(2”) 3”(4”) 5”(6”) 9” 7”(8”)
7’
百度文库
8’
1 3’ 5(7)
2 4’ 6(8)
9’
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练习2. 求正三棱锥被截切后的 V H 投影。
、
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二.回转体的截切
7 ’’ 7’
1(3)
5
2(4)
6
根据截交线各顶点的二 投影求其第三投影。
擦去被截切部分的投 影，按虚实加深各轮 廓线的投影。
7
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1.截交线的特点
截交线是立体表面与截平面的共有点的连线; 截交线必为一条封闭的平面曲线。 (特殊情况为平面折线)。
截平面
截交线
截切体
2. 截交线的求法
⑴ 空间及投影分析
①
确定截交线的形状
4 1
3 2
☆ 明确回转体的形状 ☆ 分析截平面与回转体轴线的相对位置
②
明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等)
素线法：利用立体表面的素线求截交线；
(适 合 圆 锥 )
(3) 辅 助 平 面 法 ： 利 用 所 作 的 辅 助 平 面 求 截 交 线 。
(适 合 圆 锥 、 圆 球 )
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4.截切体的解题思路
顺藤摸瓜
利用截平面的积聚性投 影找另二投影的位置。
5.求截交线的一般步骤
(1) 根据立体与截平面的位置分析截交线的形状；
第4章 立体的表面交线
基本立体的表面交线
截交线
相贯线
一.平面立体的截切
截切：
用平面与立体相交，截去立体的一部分。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
截切体： 当立体与平面相交时,被平面截断而形成的立体即为截切体。 截平面： 用来截切立体的平面，称为截平面。
截交线： 截平面与立体表面的交线，称为截交线。 截断面
Q
P
平面与圆柱相交
(2) 圆锥截交线：
① 圆 :
② 椭圆 :
P 于轴线；
P 倾斜于轴线； P // 于 轴 线 ；
P // 于 轮 廓 线 ；
P 过锥尖 S。
③ 双曲线 :
截交线形状： ④
抛物线 :
⑤ 相交二直线 :
例1 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另 外两个投影。
此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 轴是垂直与长轴的正垂线。
8 1 2 4 3 平面与圆柱相交 7 6 5
Ⅷ
Ⅶ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
Ⅵ
Ⅴ
Ⅳ
例2：求圆柱体被平面P、Q截切后的三视图 若增加圆柱孔 结果将如何？ p'
q'
P Q
截交线分析
P//圆柱体轴线， 截交线为直线 非圆曲线画法：
找特殊点 中间点 光滑连接曲线 检查轮廓线投影
Q 圆柱体轴线， 截交线为椭圆曲线 两截平面的交线
例4求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
‫׳‬ (1) 2 ‫׳‬ ‫׳‬ (3) ‫׳‬ (5) 7‫׳‬ 4‫׳‬ 3‫״‬ 5‫״‬ 7‫״‬ 1‫״‬ 2‫״‬ 4‫״‬ 6‫״‬
作图方法:
1 求棱线与截平面 的共有点
2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
6‫׳‬
5
3 1
7 2 6 4
正五棱柱被截切后的视图和立体图
c
s
2
b
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求五棱柱被截切后的V、H面投影。
1’
3’
5’
2’
解题步骤：
1 ’’( 2 ’’)
4’
6’
3 ’’( 4 ’’)
5 ’’( 6 ’’)
分析：截平面垂直切时 截交线为封闭四边形; 斜切时为封闭五边形 先求棱柱有积聚性的 水平投影。 再确定截交线上各顶 点 ,并求其在有积聚性 的水平投影上的投影。
(2) 求 截 交 线 上 特 殊 位 置 各 点 （ 顶 、 拐 点 ） 的 投 影 ；
( 3) 判 别 可 见 性 后 ， 按 顺 序 连 接 所 求 各 点 的 投 影 ；
(4) 根 据 立 体 和 截 交 线 的 二 投 影 求 出 第 三 投 影；
(5) 擦 去 被 截 掉 部 分 的 投 影 ， 按 虚 实加深图线。
3.截切体的解题思路
利用截平面的积聚性投影 找出截交线投影的位置。
顺藤摸瓜
4. 截交线的形状
截交线的形 怎样确定截交线 的投影形状？ 状是怎样的？
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 截交线多边形的边数=截平面截到的棱面数 （2）分析截平面与投影面的相对位置以确 定截交线的投影形状。
6.求截交线的一般步骤
(1) 根据立体与截平面的位置分析截交线的形状；
(2) (3) (4) (5) 求截交线上特殊位置各点（顶、拐点）的投影； 判别可见性后，按顺序连接所求各点的投影； 根据立体和截交线的二投影求出第三投影； 擦去被截掉部分的投影，按虚实加深图线。
例1.画截切三棱锥(1) 例1.画截切四棱锥（1） 例1.画截切五棱柱 例2.画截切五棱柱
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(1) 圆柱截交线：
(1) 圆 : P 于轴线；
P 倾斜于轴线；
P // 于 轴 线 。
截交线形状： 2 ) (
椭圆:
(3) 二 平 行 直 线 :
二平行直线
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例1如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两 个投影。 5” 5’ 由于平面与圆柱的轴线斜 具体步骤如下： 4’ 交，因此截交线为一椭圆。 4” 6” （2）再作出适当数量 （1）先作出截交线上的 （4）补全侧面投影中 （3）将这些点的投影 截交线的正面投影重影为一 7” 3’ 3” 直线，水平投影与圆柱面的 的一般点。 特殊点。 的转向轮廓线。 依次光滑的连接起来。 (7)’ 投影重影为圆。侧面投影可 2’ 2” 8” 1” 根据圆柱表面取点的方法求 1’ 出。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅰ
平面与圆柱相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 5” 3”
7”
2’ 5’6’ 3’4’
7’8’
2”
6”
（4）补全侧面转向轮廓线。
4”
8”
1’
1”
4
Ⅱ
6
8
Ⅳ
2
1
7
Ⅲ
正垂线
3 5 平面与圆锥相交
Ⅰ
正平线
•求外表面交线 •求内表面交线 内、外交线分别求解 •检查孔的轮廓线投影
•检查交线
例3 求左视图
同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★利用积聚性求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
例4
5
4
3 2 1
平面与圆锥相交
求圆锥被截切后的H、W面投影。
解题步骤： 1.先求出未截切时
1’ 2 ’( 3 ’)
( 3 ’’) 1 ’’ ( 2 ’’)
的另二投影。
2.分析截交线形： 于轴线切圆 过锥尖切二相交线 倾斜于轴线切椭圆 3.利用素线法及辅 助平面法求各截交 线上的特殊位置及 一般位置点的投影 4. 求截交线上各 点的第三投影. 5.判别可见性后根 据各截交线的形状 连接各点的投影。
●
1
截平面与立体的几个棱面相交? ★ 交线的形状？ 投影分析 截交线与投影面的位置关系? ★ 求截交线
●
2
★ 分析棱线的投影
★ 检查 类似性
例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
●
1
●
2 1
三面共点：
注意： Ⅰ、Ⅱ两点分别同 要逐个截平面分析和绘制 时位于三个面上。
截交线。当平面体只有局部被 截切时，先假想为整体被截切， 求出截交线后再取局部。
s’
P
s ’’
1 ’’
解题步骤：
分析：截平面斜切三 棱锥其截交线应 为封闭三角形.
利用棱线法求截交线 即：求三棱锥各棱线 与截平面的交点
1’
2’
2 ’’
3’
( 3 ’’)
a’
b’
c’
a ’’ ( c ’’)
b ’’
a
1
3
求截切体的第三投影 即: 由二投影求出第 三投影。 完成被截立体的投影 即:判别可见性后再 按虚实加深图线 擦去被截掉部分
补画被挖切后立体的投影 。
分 析： 该立体是在圆柱筒的上 部开出一个方槽后形成 的 。构成方槽的平面为 垂直于轴线的水平P和两 个平行于轴线的侧平面Q 。 它们与圆柱体和孔的表面 都有交线，平面P与圆柱 的交线为圆弧，平面Q与 圆柱的交线为直线，平面 Ｐ和Q彼此相交于直线段。
平面与圆柱相交
作图步骤如下： （1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
2.分析截交线形状: //或于轴线切圆
3.利用辅助平面法 求 于轴线的截 交线的投影。 4.利用辅助平面法 求 //于轴线切时 截交线的投影。 5.擦去被截切部分 按虚实加深轮廓 线的投影。
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练习1: 指出哪个左视图是正确的。
正确
正确
正确
正确
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求三棱锥被P平面截切后的三投影。
1 (4) P 3 (5) 2 5
.
4 •
•1 •3
•2
5• 4•
5
1 •
1
2
3 • •2
4 3
(a) (b) (c) (d)
截平面与上、下底面平行，截面为正五边形 截平面截断五条棱,截面为五边形 截平面截断六条棱, 截面为六边形 (e) 截平面截断三条棱, 截面为三边形 截平面截断四条棱, 截面为四边形 (f) 截平面与侧棱平行, 截面为矩形
例1.画截切三棱锥(2) 例1.画截切四棱锥（2）
例1.画截切六棱柱
例3求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
4´ 3´ 4″ 3″ 5″≡6″ 1´ 2´≡5 ´ 2″ 1″
6´
6 4 3 1
5
2
例2求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 2 4
● ●
(4) 3
1
●
2
●
3
4 3
●
●
☆ 关键在分析截平面与投影面的相对位置
⑵ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： ☆ 先取特殊点，后取中间点。 ☆ 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。
3. 截交线的方法
(1) 积 聚 性 法 ： 利 用 有 积 聚 性 的 投 影 求 截 交 线 ；
(适 合 圆 柱 )
方法： ( 2 )