专题课堂二全等三角形判定的综合应用
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(2)在△ABC 与△CDE 中，B∠CB＝＝C∠DE，DC，∴△ABC≌△EDC(SAS) AB＝DE，
2．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC ＝BD.求证：△ACF≌△BDE.
证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°.在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中，∵AAEC＝＝BBDF，，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)，∴∠A＝∠B. ∵AE＝BF，∴AE－EF＝BF－EF，即 AF＝BE.在△ACF 和△BDE 中，
【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC， ∠ACB，求证：AC＝AE＋CD. 分析：在AC上截取AF＝AE，连接OF，由SAS证△AEO≌△AFO，得 ∠EOA＝∠FOA，从而得到∠DOC＝∠FOC＝60°，再由ASA证 △COD≌△COF，得CD＝CF，从而得到结论．
证明：过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F，∴∠PEC＝∠PFD ＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD ＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°，而∠PDO ＋ ∠ PDF ＝ 180 ° ， ∴ ∠ PCE ＝ ∠ PDF. 在 △ PCE 和 △ PDF 中 ，
【对应训练】 4．如图，在△ABC中，AD是中线，已知AB＝5，AC＝3，求中线 AD的取值范围．
解：延长 AD 至 E，使 DE＝AD，连接 CE.∵AD 是△ABC 的中线，∴ BD＝CD，在△ABD 和△ECD 中，
A∠DA＝DEBD＝，∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE＝AB＝5.∵CE－ BD＝CD，
专题课堂二全等三角形判定的综合应用
一、全等三角形判定方法的巧用 类型：(1)已知两边对应相等，寻找第三边或夹角对应相等； (2)已知一边一角对应相等，寻找另一角或夹这一角的另一边对应相 等； (3)已知两角对应相等，寻找任一边对应相等； (4)在直角三角形中，已知一条直角边(斜边)对应相等，寻找斜边(另 一条直角边)对应相等．
A∠FA＝＝B∠E，B，∴△ACF≌△BDE(SAS) AC＝BD，
3．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝
∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
证明：在△ABC 和△DCB 中，∠∠BAACCB＝＝∠∠CDDBBC，，∴△ABC BC＝CB，
【例1】如图，四wenku.baidu.com形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠1＝ ∠2，∠3＝∠4. 求证：(1)△ABC≌△ADC； (2)BO＝DO. 分析：(1)已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，寻找公共边AC，利用ASA可 证明； (2)由(1)可得AB＝AD，利用SAS证△ABO≌△ADO可得．
证明：(1)∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC(ASA) (2)∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD.又∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴BO＝DO
≌△DCB(AAS)，∴AC＝DB.又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC
＝∠FDB.在△FAC 和△FDB 中，∠∠FFA＝C∠＝F∠，FDB，∴△ AC＝DB，
FAC≌△FDB(AAS)，∴CF＝BF
二、构造三角形证全等的常用方法 类型：(1)倍长中线法：延长中线至一倍构造全等三角形，将有关的线段 转化到一个三角形中去证明； (2)截长补短法：线段的和差问题常采用截长或补短法构造全等三角形， 将转移的边、角和已知边、角有机地结合在一起； (3)补全图形法：此法可通过图形的平移、旋转或折叠实现； (4)作平行线构造三角形：可以将角进行转移，进而构造全等三角形； (5)根据角平分线构造全等三角形：已知角平分线，常直接利用角或边相 等的关系构造三角形，也常过角平分线上的点向两边引垂线构造直角三 角形而巧妙地解决问题．
∵ BD ⊥ AD ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ BDF ＝ 90 ° . 在 △ ABD 和 △ FBD 中 ，
∠ BDA＝BDBD＝，∠FBD，
∴△ABD≌△FBD(ASA)，∴∠2＝∠DFB.
∠ADB＝∠FDB＝90°，
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C
6．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直 角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，证 明：PC＝PD.
【对应训练】 1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝DC，延 长AD到E点，使DE＝AB. (1)求证：∠ABC＝∠EDC； (2)求证：△ABC≌△EDC.
证明：(1)∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，又∵ ∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠EDC
证明：在 AC 上取 AF＝AE，连接 OF.∵AD 平分∠BAC，∴∠EAO＝∠ FAO，在△AEO 和△AFO 中，AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴ △AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF.∵AD，CE 分别平分∠BAC，
∠ACB，∴∠ECA＋∠DAC＝12∠ACB＋12∠BAC＝12(∠ACB＋∠BAC)＝12 (180°－∠B)＝60°，则∠AOC＝180°－∠ECA－∠DAC＝120°，∴∠ AOC＝∠DOE＝120°，∴∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF ＝60°，∴∠COD＝∠COF.在△FOC 与△DOC 中，∠COF＝∠COD， CO＝CO，∠FCO＝∠DCO，∴△FOC≌△DOC(ASA)，∴DC＝FC.∵AC ＝AF＋FC，∴AC＝AE＋CD
AC<AE<CE＋AC，∴2<AE<8，∴1<AD<4
5．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：∠2＝∠1＋∠C.
证明：延长 AD 交 BC 于点 F(相当于将 AB 边向下翻折，与 BC 边重合，
A 点落在 F 点处，折痕为 BE)．∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
2．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC ＝BD.求证：△ACF≌△BDE.
证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°.在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中，∵AAEC＝＝BBDF，，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)，∴∠A＝∠B. ∵AE＝BF，∴AE－EF＝BF－EF，即 AF＝BE.在△ACF 和△BDE 中，
【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC， ∠ACB，求证：AC＝AE＋CD. 分析：在AC上截取AF＝AE，连接OF，由SAS证△AEO≌△AFO，得 ∠EOA＝∠FOA，从而得到∠DOC＝∠FOC＝60°，再由ASA证 △COD≌△COF，得CD＝CF，从而得到结论．
证明：过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F，∴∠PEC＝∠PFD ＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD ＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°，而∠PDO ＋ ∠ PDF ＝ 180 ° ， ∴ ∠ PCE ＝ ∠ PDF. 在 △ PCE 和 △ PDF 中 ，
【对应训练】 4．如图，在△ABC中，AD是中线，已知AB＝5，AC＝3，求中线 AD的取值范围．
解：延长 AD 至 E，使 DE＝AD，连接 CE.∵AD 是△ABC 的中线，∴ BD＝CD，在△ABD 和△ECD 中，
A∠DA＝DEBD＝，∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE＝AB＝5.∵CE－ BD＝CD，
专题课堂二全等三角形判定的综合应用
一、全等三角形判定方法的巧用 类型：(1)已知两边对应相等，寻找第三边或夹角对应相等； (2)已知一边一角对应相等，寻找另一角或夹这一角的另一边对应相 等； (3)已知两角对应相等，寻找任一边对应相等； (4)在直角三角形中，已知一条直角边(斜边)对应相等，寻找斜边(另 一条直角边)对应相等．
A∠FA＝＝B∠E，B，∴△ACF≌△BDE(SAS) AC＝BD，
3．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝
∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
证明：在△ABC 和△DCB 中，∠∠BAACCB＝＝∠∠CDDBBC，，∴△ABC BC＝CB，
【例1】如图，四wenku.baidu.com形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠1＝ ∠2，∠3＝∠4. 求证：(1)△ABC≌△ADC； (2)BO＝DO. 分析：(1)已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，寻找公共边AC，利用ASA可 证明； (2)由(1)可得AB＝AD，利用SAS证△ABO≌△ADO可得．
证明：(1)∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC(ASA) (2)∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD.又∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴BO＝DO
≌△DCB(AAS)，∴AC＝DB.又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC
＝∠FDB.在△FAC 和△FDB 中，∠∠FFA＝C∠＝F∠，FDB，∴△ AC＝DB，
FAC≌△FDB(AAS)，∴CF＝BF
二、构造三角形证全等的常用方法 类型：(1)倍长中线法：延长中线至一倍构造全等三角形，将有关的线段 转化到一个三角形中去证明； (2)截长补短法：线段的和差问题常采用截长或补短法构造全等三角形， 将转移的边、角和已知边、角有机地结合在一起； (3)补全图形法：此法可通过图形的平移、旋转或折叠实现； (4)作平行线构造三角形：可以将角进行转移，进而构造全等三角形； (5)根据角平分线构造全等三角形：已知角平分线，常直接利用角或边相 等的关系构造三角形，也常过角平分线上的点向两边引垂线构造直角三 角形而巧妙地解决问题．
∵ BD ⊥ AD ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ BDF ＝ 90 ° . 在 △ ABD 和 △ FBD 中 ，
∠ BDA＝BDBD＝，∠FBD，
∴△ABD≌△FBD(ASA)，∴∠2＝∠DFB.
∠ADB＝∠FDB＝90°，
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C
6．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直 角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，证 明：PC＝PD.
【对应训练】 1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝DC，延 长AD到E点，使DE＝AB. (1)求证：∠ABC＝∠EDC； (2)求证：△ABC≌△EDC.
证明：(1)∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，又∵ ∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠EDC
证明：在 AC 上取 AF＝AE，连接 OF.∵AD 平分∠BAC，∴∠EAO＝∠ FAO，在△AEO 和△AFO 中，AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴ △AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF.∵AD，CE 分别平分∠BAC，
∠ACB，∴∠ECA＋∠DAC＝12∠ACB＋12∠BAC＝12(∠ACB＋∠BAC)＝12 (180°－∠B)＝60°，则∠AOC＝180°－∠ECA－∠DAC＝120°，∴∠ AOC＝∠DOE＝120°，∴∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF ＝60°，∴∠COD＝∠COF.在△FOC 与△DOC 中，∠COF＝∠COD， CO＝CO，∠FCO＝∠DCO，∴△FOC≌△DOC(ASA)，∴DC＝FC.∵AC ＝AF＋FC，∴AC＝AE＋CD
AC<AE<CE＋AC，∴2<AE<8，∴1<AD<4
5．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：∠2＝∠1＋∠C.
证明：延长 AD 交 BC 于点 F(相当于将 AB 边向下翻折，与 BC 边重合，
A 点落在 F 点处，折痕为 BE)．∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.