X射线衍射原理材料分析测试方法
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a cos b cos c cos
正点阵与倒易点阵晶胞体积也是互为倒数
V 1 V
2.1 倒易点阵
2.1.2倒易矢量及其性质 倒易矢量—由倒易原点指向倒易阵点的方向矢量，
用g*表示：
gHKL*=Ha*+Kb*+Lc*
其中H、K、L为整数。
g*方向—垂直于对应正点阵 中的（HKL）晶面
g*长度—等于对应（HKL） 面间距倒数
当X射线照射到一列原子上时，各原子散射线之间相 干加强成衍射波，此时在空间形成一系列衍射圆锥。
劳厄方程
2、二维劳厄方程—考虑单一原子面衍射方向
a ·（ S －S0）＝Hλ →a（cosβ1-cosα 1）=H λ b ·（ S －S0）＝Kλ→ b（cosβ2-cosα 2）=K λ
这表明构成平面的两列原子产生的衍射圆锥的交线才 是衍射方向。
g*∥NHKL
g*=1/dHKL
2.1 倒易点阵
由于gHKL*在方向上是正空 间中（HKL）面的法线方 向，在长度上是1/dHKL，所 以gHKL*唯一代表正空间中 的相应的一组（HKL）晶 面。
一组（HKL）晶面
倒易矢量g*HKL
一组（HKL）晶面
倒易阵点HKL
2.1 倒易点阵
g010
g100
用上式计算晶体衍射方向，比较烦琐。
布拉格方程
2.2.2布拉格方程
1、布拉格实验简介
如图示为布拉格实验装置，以CuKα线照射NaCl晶体，实验得 到“选择反射”的结果，即当入射线以某些特定角度 （θ=15°，32°）入射时，记录到反射线，其他角度入射时， 则无反射线。
布拉格方程
解释：入射的平行X光照射到晶体中相互平行的 各原子面上，各原子面各自产生的相互平行的反 射线间的干涉作用导致了“选择反射”的结果。
第二章 X射线衍射原理
散射 散射线方向任意
Hale Waihona Puke Baidu
衍射
散射线沿某些 特定方向加强 形成衍射束
第二章 X射线衍射原理
X射线衍射揭示晶体结构特征主要有两个方面： ⑴ X射线衍射方向反映了晶胞的形状和大小； ⑵ X射线衍射强度反映了晶胞中的原子位置和
种类。
X射线衍射理论所要解决的中心问题——在衍射 现象与晶体结构之间建立起定性和定量关系。
晶体学知识
晶体 晶胞 空间点阵 晶体结构 晶格常数 晶面与晶向 晶带与晶带定理
2.1 倒易点阵
2.1.1 倒易点阵的构建 X射线衍射分析是通过对衍射花样的分析来反推
出晶体结构特征的。 倒易点阵—在晶体
点阵（正点阵）基 础上按一定对应关 系构建的一个空间
点阵。如图示，a、 b、c表示正点阵基 矢，a*、b*、c*表
ghkl
uvw
a、b、c 、、、
hkl
a*、b*、c* 、 *、 *、 *
2.1 倒易点阵
倒易点阵是由晶体点阵经过一定的转化而构成的，倒 易点阵本身是一种几何构图，倒易点阵方法是一种数 学方法。倒易点阵是晶体学中极为重要的概念之一， 它不仅可以简化晶体学中的某些计算问题，而且还可 以形象地解释晶体的衍射几何。
2.2 衍射方向
▪ 关于衍射方向的理论主要有以下几个：劳厄方
程、布拉格方程、衍射矢量方程和厄瓦尔德图解
2.2.1 劳厄方程 劳厄假设晶体为光栅（点阵常数即光栅常数），
晶体中原子受X射线照射产生球面波并在一定方 向上相互干涉，形成衍射波。
劳厄方程
1.一维劳厄方程—考虑单一原子列衍射方向
a ·（ S －S0）＝Hλ a（cosβ1-cosα1）=H λ
2.1 倒易点阵
量的名称 晶面指数 晶向指数 面间距 晶向或阵点矢量 晶向长度或阵点 矢量长度 结点位置 点阵参数
正、倒点阵中相应量的符号 正点阵中
倒点阵中
(hkl) [uvw]
dhkl ruvw = u a + v b + w c
ruvw
(uvw)* [hkl]* d*uvw ghkl= h a* + k b* + l c*
劳厄方程
3、三维劳厄方程—考虑三维晶体衍射方向 a ·（ S －S0）＝Hλ b ·（ S －S0）＝Kλ c ·（ S －S0）＝Lλ
或 a（cosβ1-cosα 1）=H λ b（cosβ2-cosα 2）=K λ c（cosβ3-cosα 3）=L λ
cos2 1 cos2 2 cos2 3 1 cos2 1 cos2 2 cos2 3 1
布拉格方程
2、方程推证 当用一束X射线照射一层原子面时，两个相邻原子
散射线之间无光程差，可以相干加强 ，将原子面 视作“散射基元”。
布拉格方程
考虑两相邻原子面散射 线光程差。如图示： δ=AB+BC=2dsinθ，根 据干涉加强条件，得：
2dsinθ=nλ 这就是布拉格方程。 d-衍射晶面间距；θ-掠 射角；λ-入射线波长； n-反射级数。
第二章 X射线衍射原理
X射线照射晶体，电子受迫产生振动，向四 周辐射同频率电磁波。同一原子内的电子散射 波相干加强成原子散射波。由于晶体内原子呈 周期性排列，各原子散射波之间存在固定位向 关系而产生干涉作用，在某些方向相干加强成 衍射波。
衍射的本质就是晶体中各原子相干散射波叠加 的结果。衍射花样反映了晶体内部原子排列的 规律。
示倒易点阵基矢。
2.1 倒易点阵
a ·a*= b ·b*=c ·c*=1； a*·b=a*·c=b*·c=b*·a=c*·a=c*·b=0
方向—倒易基矢垂直于正点阵中异名基矢构成的平面 长度—倒易基矢与正点阵矢量间是倒数关系
a b c,b c a, c a b a 1 ,b 1 ,c 1
倒易点阵是由许多阵点构成的虚点阵。从数学上讲， 所谓倒易点阵就是由正点阵派生的一种几何图象－－ 点阵。正点阵是直接从晶体结构中抽象出来的，而倒 易点阵是与正点阵一一对应的，是用数学方法由正点 阵演算出的。从物理上讲，正点阵与晶体结构相关， 描述的是晶体中物质的分布规律，是物质空间，或正 空间，倒易点阵与晶体的衍射现象相关，它描述的是 衍射强度的分布。
布拉格方程
晶体对X射线的衍射是各原子面散射线之间的干 涉加强，即记录到的样品衍射线是各原子面散射 线相互干涉的结果。X射线除了满足“反射条 件”，还应满足特定角度θ，才能产生衍射。
2θ 2θ’
θ’ θB
正点阵与倒易点阵晶胞体积也是互为倒数
V 1 V
2.1 倒易点阵
2.1.2倒易矢量及其性质 倒易矢量—由倒易原点指向倒易阵点的方向矢量，
用g*表示：
gHKL*=Ha*+Kb*+Lc*
其中H、K、L为整数。
g*方向—垂直于对应正点阵 中的（HKL）晶面
g*长度—等于对应（HKL） 面间距倒数
当X射线照射到一列原子上时，各原子散射线之间相 干加强成衍射波，此时在空间形成一系列衍射圆锥。
劳厄方程
2、二维劳厄方程—考虑单一原子面衍射方向
a ·（ S －S0）＝Hλ →a（cosβ1-cosα 1）=H λ b ·（ S －S0）＝Kλ→ b（cosβ2-cosα 2）=K λ
这表明构成平面的两列原子产生的衍射圆锥的交线才 是衍射方向。
g*∥NHKL
g*=1/dHKL
2.1 倒易点阵
由于gHKL*在方向上是正空 间中（HKL）面的法线方 向，在长度上是1/dHKL，所 以gHKL*唯一代表正空间中 的相应的一组（HKL）晶 面。
一组（HKL）晶面
倒易矢量g*HKL
一组（HKL）晶面
倒易阵点HKL
2.1 倒易点阵
g010
g100
用上式计算晶体衍射方向，比较烦琐。
布拉格方程
2.2.2布拉格方程
1、布拉格实验简介
如图示为布拉格实验装置，以CuKα线照射NaCl晶体，实验得 到“选择反射”的结果，即当入射线以某些特定角度 （θ=15°，32°）入射时，记录到反射线，其他角度入射时， 则无反射线。
布拉格方程
解释：入射的平行X光照射到晶体中相互平行的 各原子面上，各原子面各自产生的相互平行的反 射线间的干涉作用导致了“选择反射”的结果。
第二章 X射线衍射原理
散射 散射线方向任意
Hale Waihona Puke Baidu
衍射
散射线沿某些 特定方向加强 形成衍射束
第二章 X射线衍射原理
X射线衍射揭示晶体结构特征主要有两个方面： ⑴ X射线衍射方向反映了晶胞的形状和大小； ⑵ X射线衍射强度反映了晶胞中的原子位置和
种类。
X射线衍射理论所要解决的中心问题——在衍射 现象与晶体结构之间建立起定性和定量关系。
晶体学知识
晶体 晶胞 空间点阵 晶体结构 晶格常数 晶面与晶向 晶带与晶带定理
2.1 倒易点阵
2.1.1 倒易点阵的构建 X射线衍射分析是通过对衍射花样的分析来反推
出晶体结构特征的。 倒易点阵—在晶体
点阵（正点阵）基 础上按一定对应关 系构建的一个空间
点阵。如图示，a、 b、c表示正点阵基 矢，a*、b*、c*表
ghkl
uvw
a、b、c 、、、
hkl
a*、b*、c* 、 *、 *、 *
2.1 倒易点阵
倒易点阵是由晶体点阵经过一定的转化而构成的，倒 易点阵本身是一种几何构图，倒易点阵方法是一种数 学方法。倒易点阵是晶体学中极为重要的概念之一， 它不仅可以简化晶体学中的某些计算问题，而且还可 以形象地解释晶体的衍射几何。
2.2 衍射方向
▪ 关于衍射方向的理论主要有以下几个：劳厄方
程、布拉格方程、衍射矢量方程和厄瓦尔德图解
2.2.1 劳厄方程 劳厄假设晶体为光栅（点阵常数即光栅常数），
晶体中原子受X射线照射产生球面波并在一定方 向上相互干涉，形成衍射波。
劳厄方程
1.一维劳厄方程—考虑单一原子列衍射方向
a ·（ S －S0）＝Hλ a（cosβ1-cosα1）=H λ
2.1 倒易点阵
量的名称 晶面指数 晶向指数 面间距 晶向或阵点矢量 晶向长度或阵点 矢量长度 结点位置 点阵参数
正、倒点阵中相应量的符号 正点阵中
倒点阵中
(hkl) [uvw]
dhkl ruvw = u a + v b + w c
ruvw
(uvw)* [hkl]* d*uvw ghkl= h a* + k b* + l c*
劳厄方程
3、三维劳厄方程—考虑三维晶体衍射方向 a ·（ S －S0）＝Hλ b ·（ S －S0）＝Kλ c ·（ S －S0）＝Lλ
或 a（cosβ1-cosα 1）=H λ b（cosβ2-cosα 2）=K λ c（cosβ3-cosα 3）=L λ
cos2 1 cos2 2 cos2 3 1 cos2 1 cos2 2 cos2 3 1
布拉格方程
2、方程推证 当用一束X射线照射一层原子面时，两个相邻原子
散射线之间无光程差，可以相干加强 ，将原子面 视作“散射基元”。
布拉格方程
考虑两相邻原子面散射 线光程差。如图示： δ=AB+BC=2dsinθ，根 据干涉加强条件，得：
2dsinθ=nλ 这就是布拉格方程。 d-衍射晶面间距；θ-掠 射角；λ-入射线波长； n-反射级数。
第二章 X射线衍射原理
X射线照射晶体，电子受迫产生振动，向四 周辐射同频率电磁波。同一原子内的电子散射 波相干加强成原子散射波。由于晶体内原子呈 周期性排列，各原子散射波之间存在固定位向 关系而产生干涉作用，在某些方向相干加强成 衍射波。
衍射的本质就是晶体中各原子相干散射波叠加 的结果。衍射花样反映了晶体内部原子排列的 规律。
示倒易点阵基矢。
2.1 倒易点阵
a ·a*= b ·b*=c ·c*=1； a*·b=a*·c=b*·c=b*·a=c*·a=c*·b=0
方向—倒易基矢垂直于正点阵中异名基矢构成的平面 长度—倒易基矢与正点阵矢量间是倒数关系
a b c,b c a, c a b a 1 ,b 1 ,c 1
倒易点阵是由许多阵点构成的虚点阵。从数学上讲， 所谓倒易点阵就是由正点阵派生的一种几何图象－－ 点阵。正点阵是直接从晶体结构中抽象出来的，而倒 易点阵是与正点阵一一对应的，是用数学方法由正点 阵演算出的。从物理上讲，正点阵与晶体结构相关， 描述的是晶体中物质的分布规律，是物质空间，或正 空间，倒易点阵与晶体的衍射现象相关，它描述的是 衍射强度的分布。
布拉格方程
晶体对X射线的衍射是各原子面散射线之间的干 涉加强，即记录到的样品衍射线是各原子面散射 线相互干涉的结果。X射线除了满足“反射条 件”，还应满足特定角度θ，才能产生衍射。
2θ 2θ’
θ’ θB