模糊数学2009-2(运算、分解定理)

[不大也不小] Ac I Bc
＝0 0.2 0.4 0.8 0.6 0.6 0.8 0.4 0.2 0 0 0
12 3
4
5
6 7 8 9 10
＝
0 1

0.2 2

0.4 3

0.6 4

0.6 5

06.4吉林07大.2学计80算机90科学10与0技术学院
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12
Example 2
模糊集合“年轻”记为Y 模糊集合“年老”记为O
请大致给出模糊集合Y∩O，Y∪O 的隶属函数曲线
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13
模糊集合运算性质（幂等律）
A∪A＝? , A∩A=?
性质1. 幂等律： A∪A=A，A∩A=A
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14
模糊集合运算性质（交换律）
性质2.
A∪B=? B∪A
A∩B=? B∩A
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15
模糊集合运算性质（结合律）
性质3.
(A∪B)∪C=? A∪(B ∪C)
(A∩B)∩C=? A∩(B∩C)
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16
模糊集合运算性质（吸收律）
性质4.
A∩(A∪B)= ? A
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33
模糊集合与经典集合的关系
模糊集合是经典集合的扩充 模糊集合可以用经典集合来表示
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34
[奴隶社会]
范例
= 1/夏 + 1/商 + 0.9/西周 + 0.7/春秋+ 0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉
如果将隶属度≥0.5 的朝代看作真正的 奴隶社会，将模糊集合[奴隶社会]转 化为经典集合[奴隶社会]0.5 ，则
⇒ μA(x)≥λ⇔ x ∈Aλ
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41
λ截集的性质3
性质3. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，则有
(A∪B)λ= ? Aλ ∪ Bλ
(A∩B)λ= ？ Aλ∩Bλ
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42
证明 (A∪B)λ= Aλ ∪ Bλ
证明： x ∈ (A∪B)λ⇔ μA∪B (x)≥λ
求C=[不大], D=[不小], E=[或大或 小], F=[不大也不小]
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27
课内作业1-4
设论域X=[0,1]，A是X上的模糊集 合，其隶属函数为μA(x)=x，试求 A∩Ac和A∪Ac的隶属函数，并做出 解释。
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28
课内作业1-5
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38
λ－截集（例）
设模糊集合A为正态模糊集，即隶 属函数为正态函数
A(x) =exp{-(x-a)2/σ2} ,x∈R, 其中 a∈R,σ>0
Question. 对于0<λ≤1, 求Aλ.
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39
λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则
[或大或小] A U B
1 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.2 0.6 0.8 1 1 1
12 3
4
5
6 7 8 9 10
1 0.8 0.6 0.4 0.4 0.6 0.8 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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24
课内作业1-1（共5道）
证明性质5（分配律） (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C)
(A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C)
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25
课内作业1-2
设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g C=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g 求A∩B, A∪B, (A∪B)c ∩C, (A
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36
Question.
模糊集合A的λ-截集Aλ是什么集合？
Aλ的特征函数是什么？
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37
λ-截集的特征函数
一个模糊集A的水平截集是普通集合， 其特征函数为：
C
A
(
x)

10,,当当AA((xx))
时 时
Aλ的特征函数曲线
[小] B 1 0.8 0.6 0.4 0.2 12 3 4 5
求[不大],[不小],[或大或小],[不大也不小]
[不大] C Ac 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0 4 5 6 7 8 9 10
[不小] D Bc 0 0.2 0.4 0.6 0.8 12 3 4 5
30
1-4答案
设X [0,1], A(x） x, 求(A U Ac )(x), (A I Ac )(x),并解释
(AU Ac )(x)＝1x, xx, x[0.5[0,1,]0.5]
(A I Ac )(x)＝1x, xx, x[0,0[0.5.5],1]
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31
1-5答案
设U R（实数集）, 对x R, A(x) exp{( x 1)2}, B(x) exp{( x 2)2}
2
2
求Ac , A U B, A I B,并画图
Ac (x) 1 exp{( x 1)2} 2
exp{( x 1)2} exp{( x 2)2} x 3
∩ B)c∪C, (A∩Ac)∪A, (A∩Ac)∪C
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26
课内作业1-3
论域X={1,2,…,10}，定义X上的两个 模糊集合：
[大]=A=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8 +1/9+1/10
[小]=B=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5
又因为μA∪B (x)= max{μA(x),μB(x) } ⇔ μA (x)≥λ 或μB (x)≥λ ⇔ x ∈Aλ或x ∈Bλ ⇔ x ∈ Aλ ∪ Bλ
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43
λ水平截集
由性质2（若λ≤μ，则Aλ⊇ Aμ)可知：
λ越大，则Aλ越小，或者说Aλ包含 的元素越少。
Question. 什么时候Aλ最小？
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11
Example 1
论域X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} A,B是论域X上的两个模糊子集， A = 0.5/x1+ 0.3/x2 + 0.4/x3 + 0.2/x4 B = 0.2/x1+ 0.6/x4 + 1/x5 请计算A,B的余集：A∩B，A∪B
设论域X R（实数集）, 对x R,

A
(
x)

exp{(
x
2
1)2},
B
(
x)

exp{(
x
2
2
)2}
求Ac , A U B, A I B的隶属函数,并画图
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29
1-3答案
[大] A 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1 4 5 6 7 8 9 10
A∪(A∩B)=？ A
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17
模糊集合运算性质（分配律）
性质5. (A∪B)∩C=？
( A∩C)∪(B∩C)
(A∩B)∪C= ？ ( A∪C)∩(B∪C)
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18
模糊集合运算性质（0-1律）
性质6.
A∪Φ＝?, A∩Φ＝?
A,
Φ
X∪A=?, X∩A=?
7
模糊集合的并集
定义4：两个模糊集合的并集A ∪ B 的 隶属函数定义为 μA ∪ B (x) =μA (x) ∨μB (x)
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8
模糊集合的交集
定义5：两个模糊集合的交集A ∩ B的隶 属函数定义为 μ A ∩ B (x) = μA (x) ∧μB (x)
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称模糊集A为空集，记为A=φ；
定义2：若对任何 x∈X ， μA(x) = μB(x) ， 则称模糊集A和B相等，记为 A = B ；
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6
模糊集合的包含⊆
定义3：若对任何 x∈X， μA(x) ≤μB(x) ，则 称模糊集A包含于模糊集B，记为 A⊆B
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Question. 模糊集合运算中， “排 中律”是否成立？
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22
排中律不成立
排中律不成立表明：模糊集不再具 有“非彼即此”的特点，这正是模 糊性带来的本质特征
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23
课内作业
5道课内作业 当堂完成，时间25分钟。 上交，算一次成绩(10%)。
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44
模糊集的核与支集
λ“=核1时”，，A若λ最Aλ小=1非，空称，截则集称AλA=1为为正模规糊模集糊A的集 模糊集A的支集
suppA={ x| x∈X , μA(x) >0 } 核 属 后与 于 扩A支张，集为随A的着的关λ支系值集：的s核u下pA降pλA=，1中A的λ逐元渐素扩完张全，隶最
模糊数学
孙舒杨 Email. sysun@jlu.edu.cn
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1
回顾
L.A.Zadeh的研究领域是什么？ “拂晓”、“中午”、“晚上”
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2
L. A. Zadeh (1921～ ) 美国自动控制专家，美国工程科学
院院士。1921年2月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。 现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与 计算机科学系教授。因发展模糊集理论 的先驱性工作而获电气与电子工程师学 会(IEEE)的教育勋章。
X,
A
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19
模糊集合运算性质（还原律）
性质7. (Ac)c = ?
(Ac)c = A
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20
模糊集合运算性质（对偶律）
性质8. (A∪B)c= ？
Ac∩Bc
(A∩B)c= ？
Ac∪Bc
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21
经典集合的其他性质
经典集合的运算中，还有“排中律” Ac∪A= X, A∩Ac = Φ
[奴隶社会]0.5 = ？
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35
λ水平截集的定义
定义：设A∈F(X) （ F(X)是指X上的所有模 糊子集构成的集合），对任意实数λ∈[0,1]， 称经典集合
Aλ= { x| x ∈X， μA(x) ≥ λ} 为A的λ水平截集，或λ-截集，称
Aλ= { x| x ∈X， μA(x) > λ}为A的λ-强截集
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45
模糊集与λ的乘积运算
A是X上的模糊子集，定义λA仍然 表示X上的模糊子集，称为λ与A的 “乘积”，其隶属函数规定为：
Aλ⊆Bλ 证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x) ⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
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40
λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集，
λ,μ ∈[0,1]，若λ≤μ，则
Aλ⊇ Aμ 证明： x ∈ Aμ ⇔ μA(x)≥μ 又已知λ≤μ
9
模糊集合的余集
定义6：模糊集合A的余集Ac的隶属函数 定义为
AC (x) 1 A (x)
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10
模糊集合的余集
若论域X表示商品集合，模糊集合A表示 商品质量好，模糊集合B表示商品质量 差
Ac表示什么？
Ac = B ?
商品质量不好，并不代表商品质量差。 模糊集合能够很好的表现这些概念的差 异。
2
2
2
A
U
B

exp{( exp{(
x x
1)2}, x 2 2)2}, x 2
3 2 3 2
A
U
B

exp{( exp{(
x x
2)2}, x 2 1)2}, x
3 2 3

2
2
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32
1-4. λ水平截集
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3
1-3 模糊集的运算
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4
模糊集合的运算
经典集合有哪些运算？ 将经典集合的运算推广至模糊集合 逐点对隶属度作相应的运算
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5
空模糊集合&相等模糊集合
设A、B为论域X上的模糊集 定义1：若对任何 x∈X，有μA(x) = 0，则