概率论与数理统计数学期望与方差专项
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解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，
则X~b(5,0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P (Y10)P (X0)(10.2)50.328, 其 余 同 理 可 得 ， 于 是 Y的 分 布 率 为 ：
Y 2 0 5 10 pk 0.0570.2050.4100.328
于 是 E (Y ) 5 .2 1 （ 6万 元 ）
密
Fmin(x)1(1F(x))2 1e2 x x0 fmin(x) 2 e2x
0
x0
0
x0 x0
度 函 数
根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).
E(N) 0x2e2xdx x e 2 x|0 0 e 2 xd x 2 e 2 x|0 2
从而E(N) 2
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩
如下：
甲 8 9 10
乙 8 9 10
次数 10 80 10
次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。
解：计算甲的平均成绩： 8 1 0 9 1 0 8 0 0 1 0 1 0 8 1 1 0 0 0 9 1 8 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 9
问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？
例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器
时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。
解：X的分布律为：
X源自文库01 2
X 01 2
8 28 21
pk 10 10 9 10 9
若级数 xkpk绝对收敛，则称级数 xkpk的和为随机变量X
k1
k1
的数学期望，记为EX,即EXxkpk k1
定义：设连续型随机变量X的概率概率为f x,若积分
xf(x)dx
绝对收敛 (即
x
f
xdx<)
则称积分
xf(x)dx
的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)
即E(X)
xf(x)dx
X 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 它 的 分 布 律 为 ：
P (Xxk)p k, k 1 ,2 ,L
若 g ( x k ) p k 绝 对 收 敛 ， 则 有 E ( Y ) E [ g ( X ) ]g ( x k ) p k
k 1
k 1
X 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 它 的 概 率 密 度 为 f( x ) 若 g(x)f(x)dx绝 对 收 敛
对 于 乙 来 说 , 1 2 0 0 0 、 1 6 0 5 0 、 1 1 0 5 0 分 别 是 8 环 、 9 环 、 1 0 环 的 概 率 ；
若 用 它 们 相 应 的 概 率 表 示 ， 就 得 到 了 数 学 期 望 ，
也 称 为 均 值 ( 加 权 均 值 ) 。
定义：设离散型随机变量X的分布律为：P(Xxk)pk k1,2,L
数学期望简称期望，又称均值。
例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk k 1,2,
服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接
f (x) 1 ex
0
x0 x0
0
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
是
解： X 串 k联 (k 情 况 1,下 2)， 的 N 分 布 m 函 i n 数 X F 1 , (X x)2 , 故 1 0 N 的 e分 x 布 x x 函 0 0 数 为 ：指数分布的
解 ： X 的 概 率 密 度 为 ： f(x) b－ 1a axb 0 其 他
X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) xf(x)dx
b
x dx a b
a ba
2
即 数 学 期 望 位 于 区 间 ( a ,b ) 的 中 点
几种重要分布的数学期望
1、 设X ~ b(n, p),则E(X) np
计算乙的平均成绩： 8 2 0 9 6 5 1 0 1 5 8 2 0 9 6 5 1 0 1 5 8 . 9 5
1 0 0
1 0 01 0 0 1 0 0
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对 于 甲 来 说 , 1 1 0 0 0 、 1 8 0 0 0 、 1 1 0 0 0 分 别 是 8 环 、 9 环 、 1 0 环 的 概 率 ；
则 有 E (Y ) E (g (X )) g (x )f(x )d x
定 理 的 重 要 意 义 在 于 我 们 求 E ( Y ) 时 ， 不 必 算 出 Y 的 分 布 律 或 概 率 密 度 ， 而 只 要 利 用 X 的 分 布 律 或 概 率 密 度 就 可 以 了 。
第四章 随机变量的数字特征
数学期望 协方差
问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量
的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；
pk 4 5 8 45 1 45
E (X ) 0 5 4 1 4 8 5 2 4 1 59 2
例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？
例5：设 X(),求 E (X)。
解 ： X 的 分 布 律 为 ： P ( X k ) k e k 0 , 1 , L 0 k ! X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) k ke
e
k1
k0 k!
k1 (k 1)!
ee
即E(X)
例6：设 X U (a ,b )， 求 E (X )。
2、 设X ~ (),则E(X)
3、 设X ~ U(a,b),则E(X) a b 2
4、 设X ~ N(, 2),则E(X) 5、 设X服 从 参 数 为的 指 数 分 布,则E(X) 1
10
定 理 ： 设 Y 是 随 机 变 量 X 的 函 数 ： Y g ( X ) g 是 连 续 函 数 ,
则X~b(5,0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P (Y10)P (X0)(10.2)50.328, 其 余 同 理 可 得 ， 于 是 Y的 分 布 率 为 ：
Y 2 0 5 10 pk 0.0570.2050.4100.328
于 是 E (Y ) 5 .2 1 （ 6万 元 ）
密
Fmin(x)1(1F(x))2 1e2 x x0 fmin(x) 2 e2x
0
x0
0
x0 x0
度 函 数
根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).
E(N) 0x2e2xdx x e 2 x|0 0 e 2 xd x 2 e 2 x|0 2
从而E(N) 2
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩
如下：
甲 8 9 10
乙 8 9 10
次数 10 80 10
次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。
解：计算甲的平均成绩： 8 1 0 9 1 0 8 0 0 1 0 1 0 8 1 1 0 0 0 9 1 8 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 9
问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？
例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器
时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。
解：X的分布律为：
X源自文库01 2
X 01 2
8 28 21
pk 10 10 9 10 9
若级数 xkpk绝对收敛，则称级数 xkpk的和为随机变量X
k1
k1
的数学期望，记为EX,即EXxkpk k1
定义：设连续型随机变量X的概率概率为f x,若积分
xf(x)dx
绝对收敛 (即
x
f
xdx<)
则称积分
xf(x)dx
的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)
即E(X)
xf(x)dx
X 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 它 的 分 布 律 为 ：
P (Xxk)p k, k 1 ,2 ,L
若 g ( x k ) p k 绝 对 收 敛 ， 则 有 E ( Y ) E [ g ( X ) ]g ( x k ) p k
k 1
k 1
X 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 它 的 概 率 密 度 为 f( x ) 若 g(x)f(x)dx绝 对 收 敛
对 于 乙 来 说 , 1 2 0 0 0 、 1 6 0 5 0 、 1 1 0 5 0 分 别 是 8 环 、 9 环 、 1 0 环 的 概 率 ；
若 用 它 们 相 应 的 概 率 表 示 ， 就 得 到 了 数 学 期 望 ，
也 称 为 均 值 ( 加 权 均 值 ) 。
定义：设离散型随机变量X的分布律为：P(Xxk)pk k1,2,L
数学期望简称期望，又称均值。
例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk k 1,2,
服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接
f (x) 1 ex
0
x0 x0
0
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
是
解： X 串 k联 (k 情 况 1,下 2)， 的 N 分 布 m 函 i n 数 X F 1 , (X x)2 , 故 1 0 N 的 e分 x 布 x x 函 0 0 数 为 ：指数分布的
解 ： X 的 概 率 密 度 为 ： f(x) b－ 1a axb 0 其 他
X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) xf(x)dx
b
x dx a b
a ba
2
即 数 学 期 望 位 于 区 间 ( a ,b ) 的 中 点
几种重要分布的数学期望
1、 设X ~ b(n, p),则E(X) np
计算乙的平均成绩： 8 2 0 9 6 5 1 0 1 5 8 2 0 9 6 5 1 0 1 5 8 . 9 5
1 0 0
1 0 01 0 0 1 0 0
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对 于 甲 来 说 , 1 1 0 0 0 、 1 8 0 0 0 、 1 1 0 0 0 分 别 是 8 环 、 9 环 、 1 0 环 的 概 率 ；
则 有 E (Y ) E (g (X )) g (x )f(x )d x
定 理 的 重 要 意 义 在 于 我 们 求 E ( Y ) 时 ， 不 必 算 出 Y 的 分 布 律 或 概 率 密 度 ， 而 只 要 利 用 X 的 分 布 律 或 概 率 密 度 就 可 以 了 。
第四章 随机变量的数字特征
数学期望 协方差
问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量
的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；
pk 4 5 8 45 1 45
E (X ) 0 5 4 1 4 8 5 2 4 1 59 2
例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？
例5：设 X(),求 E (X)。
解 ： X 的 分 布 律 为 ： P ( X k ) k e k 0 , 1 , L 0 k ! X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) k ke
e
k1
k0 k!
k1 (k 1)!
ee
即E(X)
例6：设 X U (a ,b )， 求 E (X )。
2、 设X ~ (),则E(X)
3、 设X ~ U(a,b),则E(X) a b 2
4、 设X ~ N(, 2),则E(X) 5、 设X服 从 参 数 为的 指 数 分 布,则E(X) 1
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定 理 ： 设 Y 是 随 机 变 量 X 的 函 数 ： Y g ( X ) g 是 连 续 函 数 ,