【控制工程】第4章 根轨迹法

a
2k 1
nm
极点之和减去 零点之和。
k依 次 取0， 1， 2，一 直
到 获得n m个 倾角 为 止。
例1、某单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
ss
K
1s
2
开环有三个极点 p1 0, p2 1, p3 2
开环无零点
n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
Apj s pj
pj s pj
i 1,2,m j 1,2,n
因此有：幅角条件
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
k 0,1,2,
m
Azi
幅值条件
K
i 1 n
1
Apj
j 1
可见，幅角条件与K 无关;
而幅值条件与K 有关，且K 由0 ~ 。
因 此 ， 复 平 面[ S ]上 所 有 满 足 幅 角 条 件 的点 都 是
零点，另外n m条根轨迹趋向于何处呢？
n m,且K
s z1 s s p1 s
z2 s zm p2 s pn
1 K
0
只有当s 时，上式可写为：
sm sn 0
即1 snm
0
s
当 K 时，有n m条根轨迹趋于无穷远处。
四、实轴上的根轨迹
实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、极点数目之和应为奇 数。
K
1
M
s s2
K 1s
[S]
K s s2
1 j 1 j 2
-2
0
1 j 1 j 2 2 2
K
N
K 1 2
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹的分支数 根轨迹在[S]平面上的分支数=
闭环特征方程的阶数n
这是因为n阶特征方程对应n个特征
根，当开环增益K由
变化时，这n
个特征根随K变化必然0会~出现n条根轨迹。
这个结论可由幅角条件证明。
m
n
zi pj 180 2k 1
i 1
j 1
k 0,1,2,
[S]
五、根轨迹的渐进线
若m n，则当K 时，要有n m条根轨迹 趋于处，这n m条趋于处根轨迹的方位可由渐
进线决定。
渐进线与实轴交点的坐标为：
n
m
pj zi
a
j1
i 1
nm
渐进线与实轴正向的夹角为：
二、根轨迹的对称性 因为开环极点、零点或闭环极点都是实数或共轭复数，它
们在[S]平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。
[S]
三、根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m
小于开环极点数n ,则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
[S]
n4 m2 nm 2 有2条根轨迹终止于处
z1、z2 zm为系统的m个开环零点
K 为系统的开环根轨迹增益 K K
GsH s
K s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
其向量表达为
G s H
s
K
Az1e j z1 Azme j zm Ap1e j p1 Apne jpn
其中 Azi s zi zi s zi
K→∞ [S]
s1,2 1 1 2K
K=0.5
-2
0
K→∞
4.1.2 根轨迹方程及幅角、幅值条件
典型反馈控制系统的闭环传递函数为
Xo Xi
s s
1
Gs GsH
s
其特征方程为 1 GsH s 0
或写作
GsH s 1
满足上式的s值，都是特征方程 的根，都必定是根轨迹上的点，故 称上式为根轨迹方程。
4.1 根轨迹法的基本概念
4.1.1 根轨迹 所谓根轨迹，是指当系统
某个参数（如开环增益K）由 零到无穷大变化时，闭环特征 根在[S]平面上移动的轨迹。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss
2
K
ss 2
闭环传递函数为
X o s X i s
s2
2K 2s
Байду номын сангаас
2K
特征方程为
s2 2s 2K 0
闭环特征根为
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 值。
K
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
如：s 1 j点
特征方程的根，当K 由0 ~ 变化时，这些点所
构成的轨迹即根轨迹。
下面利用幅角、幅值条件画根轨迹
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss
2
K
ss 2
幅角条件： s s 2 180 2k 1
试 探 法 确 定 满 足 上 式 的s点
M
s1 0 , s1 2 0
[S]
s2 180 , s2 2 0
由于 GsH s 1 是复数向量。
两个向量相等的条件是幅角、幅值分别相等。 因此得到：
幅角条件: GsH s 180 2k 1 k 0,1,2 幅值条件: GsH s 1
其中
GsH s
K s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn
式中 p1、p2 pn为系统的n个开环极点
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正方 向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方 向的夹角。
[S]
p1
1
z1
p3
p2
2
[S]
1
z1
z2 2
证明：
s s
z1 p1
s s
z2 s zm p2 s pn
1 K
当K 0时，即有
s p1 s p2 s pn 0
由此求得根轨迹的起点为：p1 , p2 , pn
当K 时，即有
s z1 s z2 s zm 0
由此求得根轨迹的终点为：z1 , z2 , zm
但当n m时，只有m条根轨迹趋向于开环
第4章 根轨迹法
• 反馈控制系统的基本性能，主要由系统的极点（即特 征方程的根）分布所决定，因此分析系统必须求解特 征方程的根。但求解高阶系统特征方程异常困难，这 就限制了时域分析法在二阶以上系统中的应用。
• 1948年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函数之间 的内在联系，提出了直接由开环传递函数确定闭环特 征根（即闭环极点）的新方法，并且建立了一套法则， 这就是在工程上获得广泛应用的根轨迹法。
p1 s1•
[S]
1
z1
p3
p2
2
起始角：起始于开环 极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正 方向的夹角。