三角形中线专题

中线：顶点到对边中点的连线段

第一、中线等分面积；

1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是()

A．中线B．角平分线C．高线D．三角形的角平分线

2．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有（）A．4对B．5对C．6对D．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）

3．△ABC的周长为16cm，AB＝AC，BC边上的中线AD把△ABC分

成周长相等的两个三角形．若BD＝3cm，求AB的长．

4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．

第二、中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等；

实例：△ABC中AD是BC边中线

D

A

B C

N

D

C

B

A

M F

E

D C

B

A

方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

方式2：间接倍长延长MD到N，使DN=MD，连接CN

方式3：过点C作CF⊥AD于F，过点B作BE⊥AD的延长线于E；

【经典例题】

D

C B

A

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交

AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形

例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

提示：

方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH

例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）

例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD

第 1 题图 A

B F

D E

C

【融会贯通】

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

提示：延长AE、DF交于G

证明AB=GC、AF=GF

所以AB=AF+FC

2、如图，AD为ABC

∆的中线，DE 平分BDA

∠交AB于E，DF平分ADC

∠交AC于F. 求证：EF

CF

BE>

+

第 14 题图

D

F

C

B

E

A

3、已知：如图，∆ABC中，∠C=90︒，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC 于T，过D作DE

提示：过T作TN⊥AB于N

证明ΔBTN≌ΔECD

4．如图，△ABC中，D是BC的中点，动点E在AB边上，DF⊥DE交AC于F，连接EF，猜想：BE+CF与EF的大小

关系为，并请加以证明．

5．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．

（1）探究PG与PC的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；

（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．

E

A

B C

D

A

B

C

M

T

E

6．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC、△DCE都为等边三角形，M为BD的中点，N为AE的中点，求证：△CMN为等边三角形．

第6题图第7题图

7．如图，在△ABC中，经过BC的中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB、AC 分别交于D、E，求证：BD+CE＞DE．

第三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5cm，则EF为（）A．5 B．10 C．15 D．20

第1题图第2题图第3题图

2．如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE．

8．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．

第四、两边中点连线，为三角形的中位线——平行于第三边且等于第三边的一般；（一）、已知三角形的三边为6、8、10,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少

变形题：已知三角形的三边为a、b、c,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少

（二）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形

变形题1：已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH 是平行四边形