三角函数定义域值域的求法
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二.填表
y sin x
定义域 值域 最值 周期
y cos x
R
R
[1,1]
x 2k
[1,1]
x 2k 时y max 1
x 2k
2
时y max 1
T 2
2
时y min 1 x 2k 时y min 1
T 2
一. 求三角函定义域:
例1:求y 2sin x 1 值域。
分析:利用 sinx 1 cos x 1有界性
函数 y 2sin x 1的值域为 1, 3
练习:口答下列函数的值域 [-1,3] (1)y=-2sinx+1 [-1,5] (2) y=3cosx+2 总结:形如y=asinx+b的函数的最大值是 a b 最小值是 a b
例2:求 y sin x sin x 1的值域。 二次函数法
2
二)二次型 y a sin2 x b sin x c
点拨:1.换元(注明新元取值) 2.运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)
解:令t sin x 1,1
y
1 3 当t 时,y min 2 4
3
) 2 sin( x
3
)
练习:y 2sin x cos x的值域.
原式的值域为 2, 2
值域为 5 , 5
例5. y cos2 x sin x cos x的值域.
2.二合一 1.降次 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 1 cos 2 x 2 2
例1.求下列函数的定义域;
1 (1) y 1 sin x
(2) y
1 1 sin(2x+
6
)
(3) y 2cos x-1
练 (4) y lg(2sin x-1)
点拨:1.列出三角不等式 2.根据图象写出不等式的解集
二.求 三角函值域的几种典型形式 一)一次型 y=asinx+b 直接代入法
1.在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx, x[0, 2]的简图:
y
1
一.复习(3分钟完成)
y=cosx,x[0, 2]
2
o
-1
2
3 2
2
y=sinx,x[0, 2]
x
2.写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
3.写出y A sin( wx )或y A cos( wx ) 2 T [ | A |,| A |] (2)周期__________ (1)值域__________ | |
例5. y 2cos x sin( x
1.统一角 2.降次
1 cos 2 x sin x 2
2
3
) 3 sin x sin x cos x的值域.
2
3.二合一
五) 其他形式:
一般一个式子中同时出现了sin x cos x和 sin x cos x. 想到了
例5:y sin x cos x sin x cos x
S AB BC 2R cos sin 2R sin 2 sin 2 1
S 2R2
当2 90, 即 45时,圆内接矩形面积最大 这时圆内接矩形为内接正方形。
A D
C
B
练习:
如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,
要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地,使某一边AD落在圆的直径上,另 两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径 长为a,如何选择关于点O对称的点A,D 的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?
2
1 2 3 y (t ) 2 4
当t=-1时,ymax =3
-1 0
1 2
1
t
练习: y cos x sin x 2 的值域。
点拨:统一函数名
三) 分式型 y a sin x b
c sin x d
sin x 例3: 求y 的值域。 反表示法 sin x 2 点拨: 1.反表示 2.利用 sinx 1, cos x 1有界性 2y 解: sin x sinx 1 1 y 2y 1 | | 1 两边平方 值域为 1, 1 y 3
解: 设t=sinx+cosx,则t 2 , 2
2 t 1 令t sin x cos x(t 2, 2 ) 则sin x cos x 2
y
t2 1 原式化为: y=t+ 2
1 1 2 1 2 = ( t 1 ) 1 = t t 2 2 2
D
C
A
B
t 2, 2
1
2
0
源自文库
2
x
1 y min =-1 , y max = + 2 2
sin x cos x 练习:y 1 sin x cos x
六:应用题求最值 例6:把一段半径R的圆木锯成横截面为矩形的
木料,怎样锯法才能使得横截面的面积最大。
解:因为锯得的矩形横截面是圆内接矩形 (如图所示),设BAC=,则AB=2Rcos , BC=2Rsin .因此,矩形的面积
cos x 2 练习: y cos x 1
四)二合一
y a sin x b cos x
a 2 b 2 sin( x )
2
利用a sin x b cos x
2
例4. y sin x 3 cos x的值域.
解:原式= 1 ( 3) sin( x