思路拓展--高考解析几何万能解题套路

版权所有：乐贝思教育机构 联系电话：13524170045、13541300108
3
乐贝思™教育
∴
y1 = kx1 + d
………① ………②
y2 = kx2 + d
∵点 ∴
A 、 B 在椭圆上
………③
x12 y12 + =1 a 2 b2
2 2 x2 y2 + =1 a 2 b2
………④
将①代入③消去
x2 y2 例：已知直线 l ： y = kx + d 与椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 交于 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y 2 ) ( x1 ≠ x2 ) a b
两点。 ⑴ 按前面一套代入规则列方程，并处理 ∵点
A 、 B 在直线 l 上
版权所有人：罗荷玉 QQ：16626316
2
乐贝思™教育
我们把点、直线、曲线视为构成任何其它几何图形的基础。所以，这里的“从属关系”是点与直线、曲线 的属于关系问题——如果某个点在某条直线或曲线上， 那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。 步骤 3：图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化（三化 ） 。 说明：在解析几何中，会有一些关于图形构成特点的条件，如图形中某两条直线垂直；图形中某条直 线和某条曲线相切等等，我们把这些条件都归结在步骤 3 中来处理； 步骤 4：按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式（四处理 ） 。 说明：步骤 1、2、3 完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。 下面，我们把这四个步骤进行标准化。
高考解析几何·万能解题套路
一个套路，解决所有高考解析几何问题！
（版权所有 翻印必究）
1
乐贝思™教育
第一部分：高考解析几何·万能解题套路
一、导论
在教学中，一直有一个难以解决的悖论： “题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战 术”又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是 ——通过平 时的“题海战术” ，也许可以穷尽问题的各种可能。 然而，如果我们仔细研究一下西方科学思想，他们的目标也是穷尽问题的各种可能，但他们采用的是 欧几里德在《几何原本》中创立的公理化演绎方法！在其划时代的伟大著作《几何原本》中，欧几里德仅 用了 5 条公理和 5 条推理规则（或者说演绎规则） ，就将以往大量的、零碎的、彼此之间也看不出多少联系 性的几乎所有几何问题的解都统一了起来！ 大量看似没有多少联系性的问题，却能通过高度一致的方法获得解决！欧几里德的发现深深地影响了 后世无数科学家，并让几乎所有学科走上了为所有可能的问题寻找高度一致解决方法的道路！ 事实上，欧几里德的发现影响如此巨大，使得公理化演绎方法成为几乎所有学科的通用方法。为了让 学生能真正从题海战术中走出来， 我们以解析几何为例， 开发出一套与高考解析几何演绎体系相对应的 “万 能解题套路” ，希望对大家有所启发。
步骤三： （三化）
在几乎任何一门科学分支里面，前面两个步骤都是高度模式化的，他们构成了解决该科学分支所有特 定问题的基础。那特定问题是怎么形成的呢，事实上就是附加了一些特殊条件的问题，如在解析几何题目 里，我们可以附加两条直线垂直的条件，也可以附加一条直线与一条曲线相切的条件，等等，当然，我们 不用太担心，这些条件都是与我们教材上的基本数学概念相对应的，它们分别与一个或一组固定模式的方 程相对应，而且，通过少数几条通用规则就可以把所有这些方程罗列出来。而我们要做的，就是针对这些 特定条件选择合适的通用规则来列方程。下面是这个步骤涉及的主要通用规则： 1、两点的距离 已知两点
y1 ，整理得
………⑤
(b 2 + a 2 k 2 ) x12 + 2kda 2 x1 + a 2 (d 2 − b 2 ) = 0
将②代入④消去
y2 ，整理得
………⑥
2 (b 2 + a 2 k 2 ) x2 + 2kda 2 x2 + a 2 (d 2 − b 2 ) = 0
将⑤－⑥，整理得
[(b 2 + a 2 k 2 )( x1 + x2 ) + 2kda 2 ]( x1 − x2 ) = 0
，
y3 =
y1 + y2 2
。
3、两条直线垂直 已知直线 l 与直线 m 垂直，当直线 l 的斜率不为 0 时，有 kl 线 m 的斜率不存在，或者说直线 m 与 x 轴垂直。 4、两条直线平行 已知直线 l 与直线 m 平行， 当直线 l 和 m 的斜率存在时， 有 kl 直线 l 和 m 都与 x 轴垂直。 5、两条直线的夹角 已知直线 l 的倾斜角为 α ，直线
y = kx + d ）表示
> 0 列出来。
备注：事实上，这是前面一套规则在特定情况下的等效规则，如果用前面一套操作规则，我们会发现 在其后续方程组的处理过程中会出现韦达定理的推导过程，而后面的等效规则直接用了韦达定理的结论， 省略了韦达定理的推导过程，当然，它的好处也仅此而已。为了让大家看得更明白，我们举例说明一下：
二、解析几何万能解题套路
解析几何是法国数学家笛卡儿（1596 年～1650 年）创立的。在笛卡儿之前，几何（即欧几里德几何） 与代数是数学中两个不同的研究领域，但这两门学科都有着自己的局限性，比如欧几里德几何，虽然它构 建起了严密的演绎体系，但基本只局限于对直线和圆所组成的图形的处理，当面对椭圆、抛物线、双曲线 等新奇图形时，欧几里德几何就开始变得力不从心了。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了 一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指 引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。 正如前面所说，演绎体系最大的特点是：大量看似没有多少联系性的问题，在演绎体系下却能通过高 度一致的方法获得解决！而要找到这个高度一致的方法，只须理清两个问题：一、这个演绎体系下的问题 是由什么构成的；二、这个演绎体系的演绎规则是如何构建的。 以高考解析几何为例： 1、问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构 成的图形的问题； 2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。当然，能用代数规则处理的问 题必须是代数形式的，比如，平面上的点、直线、曲线构成的图形能用代数方法来处理，前提是构成这些 图形的点、直线、曲线必须是代数形式的。 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两 项工作： 1、几何问题代数化。 2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。 至此，我们可以发掘出一套规整的高考解析几何的统一解题套路： 步骤 1：把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化 ） ； 步骤 2：把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代 ） ； 说明：这里的“从属关系”指的是什么？实际上，在解析几何中， “点”是比直线、曲线更基础的几何 元素——任何几何图形，包括直线和曲线，都被视为是由一个个的“点”构成的（用数学语言来表达：任 何几何图形，包括直线和曲线，都是由点构成的集合） 。但为了使我们的解题套路各步骤之间条例更分明， 版权所有：乐贝思教育机构 联系电话：13524170045、13541300108 版权所有人：罗荷玉 QQ：16626316
代入 x1
+ x2 = −
2kda 2 b2 + a 2k 2
，得
x1 x2 =
a 2 (d 2 − b 2 ) b2 + a 2k 2
⑵ 按后面的规则列方程，直接用韦达定理得到结果 ∵点 ∴
A 、 B 在直线 l 上
………① ………②
y1 = kx1 + d
y2 = kx2 + d
将直线 l 的方程代入椭圆方程，整理得 版权所有：乐贝思教育机构 联系电话：13524170045、13541300108 版权所有人：罗荷玉 QQ：16626316
A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，则该两点的距离： | AB |= ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 x1 + x2 2
。
2、两个点的对称点 已知两点
A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，则它们的对称点 C ( x3 , y3 ) ： x3 =
三、高考解析几何解题套路各步骤操作规则
步骤一： （一化）
口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、见点化点： “点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化； 2、见直线化直线： “直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化； 3、见曲线化曲线： “曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线） ”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的 曲线都要加以方程化； 备注：大家在学习本教材的例题时，可翻阅教科书回顾这些内容，以加深印象，如直线有五种表示方 法——哪种情形对应哪种方法表示；圆、椭圆、抛物线、双曲线的方程怎么列。
4
乐贝思™教育
(b 2 + a 2 k 2 ) x 2 + 2kda 2 x + a 2 (d 2 − b 2 ) = 0
由韦达定理得
………③
x1 + x2 = −
Hale Waihona Puke Baidu
2kda 2 b2 + a 2k 2
， x1
+ x2 =
a 2 (d 2 − b 2 ) b2 + a 2k 2
说明：这里给我们展示了科学推理的一个特点，就是通用规则在特定问题中使用后，一般都会得到一 些比较固定的结果，科学家把通用规则在这些特定问题中获得的固定结果定义为“定理” ，这样，在接下来 的计算中直接使用“定理”就可以省略一些中间过程——韦达定理就是这样的例子。事实上，在处理问题 时，我们可以只用通用规则，从源头上解题，也可以直接用这些“定理” ，让解题过程相对简便一些。当然， 一个通用规则对不同的特定问题进行操作后，都会得到不同的定理，这样，一个通用规则可以针对不同的 问题演绎出成千上万条定理，要记住这么多定理是极难的，而且随着记忆的定理数量的增长，人脑会发生 混淆，大家会出现大脑短路的现象，成绩也开始进入长期止步不前的可怕状态，即出现所谓的学习的 “高 原现象” 。 所以，我们建议大家，不管是成绩好的，还是成绩不好的，要养成科学的学习习惯，先搞清楚并熟练 掌握通用规则，再在此基础上掌握一定数量的特定规则（即定理） ，这样学习起来更轻松，也更快捷。事实 上，著名心理学家奥苏贝尔研究发现，人的知识结构如何组织对学习效率影响很大，条例分明的知识结构 会使人脑处理知识的难度下降，从而大大提高学习效率。我们推出这套教材的目的就是为了让大家获得一 个科学的知识结构，而这个知识结构对应的就是统一的、结构化的解决问题的套路。
步骤二：点与直线、曲线从属关系的代数化（二代）
口诀：点代入直线、点代入曲线。 1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程； 2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程； 备注 1：这样，每代入一次就会得到一个新的方程，这些方程都是获得最后答案的基础。 备注 2：方程逐一列出后，最后就是解方程组的问题了。在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况， 即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后不能直接算出常数结果，则采用下 面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单： 等效规则的口诀：点代入这两个点共同所在的直线、直线代入曲线。 1、点代入这两个点共同所在的直线：把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如 出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程； 2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程； 3、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示 （这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相 互关系式） ； 4、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来； 5、把这个一元二次方程的判别式 ∆
∵ x1
≠ x2 ⇒ x1 − x2 ≠ 0
2
∴ (b
+ a 2 k 2 )( x1 + x2 ) + 2kda 2 = 0 ⇒ x1 + x2 = −
2kda 2 b2 + a 2k 2
将⑤+⑥，配方得
(b 2 + a 2 k 2 )[( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 ] + 2kda 2 ( x1 + x2 ) + 2a 2 (d 2 − b 2 ) = 0