线性代数知识点总结第一章

线性代数知识点总结

第一章 行列式

第一节:二阶与三阶行列式

把表达式11221221a a a a -称为

1112

2122

a a a a 所确定的二阶行列式,并记作

1112

2112

a a a a ,

即1112

112212212122

.a a D a a a a a a =

=-结果为一个数。

同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数

表11

1213

21

222331

32

33a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式,记作1112

13

2122

23313233

a a a a a a a a a 。 即111213

2122

23313233

a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则

注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算. 利用行列式计算二元方程组和三元方程组:

对二元方程组1111221

2112222

a x a x

b a x a x b +=⎧⎨

+=⎩

设1112

2122

a a D a a =

≠11212

22

b a D b a =

111

2212

.a b D a b =

则1122221111122122

b a b a D

x a a D

a a ==

，

11

1

2122

211122122

.a b a b D x a a D

a a =

= 对三元方程组111122133121122223323113223333

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩，

设11

1213

21

222331

32

33

0a a a D a a a a a a =≠，

1

121312

22233

3233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，11

12

132122231

323

a a

b D a a b a a b =, 则11D x D =

，22D

x D =，33D x D

=。(课本上没有） 注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上.

第二节:全排列及其逆序数

全排列：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）。

n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用P n （或A n )表示。（课本P5）

逆序及逆序数:在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。(课本P5)

计算排列逆序数的方法： 方法一：分别计算出排在1,2,

,1,n n - 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,n n

-这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。 方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.（课本上没有）

第三节：n 阶行列式的定义

定义：n 阶行列式11

12121

22

212

=

n n n n nn

a a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积

12

12n p p np a a a 的代数和,其中p 1 p 2 … p n 是1， 2， … ,n 的一个排列，每一项的符号由其

逆序数决定。()

()

11

1211222211221122010

n t n n nn nn nn

a a a a a D a a a a a a a =

=-=也可简记为

()det ij a ，其中ij a 为行列式D 的(i ，j 元)。

根据定义，有()()

12

1212

11

12121

22

21212

1=

=

-∑

n n n

n t p p p n p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a

说明：

1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程

组的需要而定义的;

2、n 阶行列式是!n 项的代数和；

3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;

4、12

12n p p np a a a 的符号为()1t

-，t 的符号等于排列12,,...n p p p 的逆序数

5、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆。

推论1:上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。

即()

()

11

1211222211221122010

n t n n nn nn nn

a a a a a D a a a a a a a =

=-=

推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于()()12

1n n --乘

以其副对角线上各元的乘积。

即

1

2

12

n n

λλλλλλ=，

()

()1

12

2

121n n n n

λλλλλλ-=-

第四节：行列式的性质

定义

记11

12121

22

212

n n n n nn

a a a a a a D a a a =

，11

2111222212n n T

n

n

nn

a a a a a a D a a a =

，行列式T

D 称为行列式

D 的转置行列式.

性质1 行列式与它的转置行列式相等.

说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。 性质2 互换行列式的两行()

↔i j r r 或列()

↔i j c c ，行列式变号。 推论

如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

性质3 行列式的某一行（列)中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式；

推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面； 推论2 D 中某一行(列）所有元素为零，则=0D .

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列(行）的元素都是两数之和，则