高中数学换元法解题案例及练习题

高中数学换元法解题案例及练习题

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x ＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π

]，问题

2

变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋

y 2＝r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。

均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2

－t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π2

]。 Ⅰ、再现性题组：

1.y ＝sinx ·cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________。

2.设f(x 2＋1)＝log a (4－x 4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n +1·a n ＝a n +1－a n ，则数列通项a n ＝___________。

4.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。

5.方程

1313++-x x

＝3的解是_______________。

6.不等式log 2(2x －1) ·log 2(2x +1－2)〈2的解集是_______________。 【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则

y ＝

t 2

2

＋t －12

，

对称轴t ＝－1，当t ＝

2，y max ＝

1

2

＋2； 2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]；

3小题：已知变形为

11a n +－1a n

＝－1,设

b n ＝

1

a n

，则b 1＝－1,b n ＝－

1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－1n

；

4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1；

5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝1

3

，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x －1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2

,log 23)。 Ⅱ、示范性题组：

例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求

1S max

＋

1S min

的值。（93年全国高中数学联赛题）

【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1,于是进行三角换

元，设x S y S ==⎧⎨

⎪⎩⎪cos sin α

α

代入①式求S max 和S min 的值。

【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα

代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5

解得 S ＝

10852-sin α

；

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ 1013≤

1085-sin α

≤

103

∴

1S max

＋

1S min

＝

310＋1310＝1610

＝85

此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810

S S

-的有界

性而求，即解不等式：|810

S S

-|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】 由S ＝x 2

＋y 2

，设x

2

＝S 2

＋t ，y

2

＝S 2－t ，t ∈[－

S

2，S 2

]，

则xy ＝±

S t 2

24

－代入①式得：4S ±5

S t 2

24

－=5，

移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 。 ∴ 39S 2

－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤10

3

∴

1S max

＋

1S min

＝310＋1310＝1610

＝8

5

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路，设x 2＝

S

2

＋t 、y 2＝S 2

－t ，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到

了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53

]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013

＋2013a 2∈[1013,10

3

]，再求

1S max ＋

1S min

的值。

例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1

cos A ＋1cos C

＝－

2

cos B

，求cos

A C

2

的值。（96年全国理）