高等数学第7章微分方程解答

4、设有连接点 和 的一段向上凸的曲线弧 ，对于 上任一点 ，
曲线弧 与直线段 所围图形的面积为 ，求曲线弧 的方程.
解：设所求曲线方程为 ，由题意 ，等式两边对 求导有 ，整理得微分方程 ，此访程为一阶线性非齐次方程，由通解公式，得通解为 ，又由曲线过 ，可知 ，故所求曲线方程为
5、求下列微分方程的通解
故原方程的通解为 ,代入初始条件 ,得 .于是,所求之特解为 .
（2）
解将原方程分离变量，得
两端积分得 ，即
故原方程的通解为 ,代入初始条件 ,得 .于是,所求之特解为 .
3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
解设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x轴与y轴上的截距分别为2x与2y,于是切线的斜率 ,分离变量得 ,积分得 ,即 .
两边再积分得 。代入初始条件 ，得 ，故所求特解为
。
3、试求 的经过点 且在此点与直线 相切的积分曲线。
解因为直线 在（0，1）处的切线斜率为 ，由题目条件知，所求积分曲线是初值问题： 的解。对 两边积分得， 。代入初始条件 ，得 。从而有 。
两边再积分得 。代入初始条件 ，得 ，故所求积分曲线的方程为 。
是原方程的一个特解.代入原方程,得 .
比较系数得 ,解得 ,
即 .
故原方程的通解为 .
。
代入初始条件 ，有 ，即 。
于是得 。
复习题七
1、求微分方程 ， 满足所给初始条件的特解。
解所给方程为可分离变量的微分方程。分离变量得
两端积分得 ，即 。
代入初始条件 ，有 ，所以 ，于是
即 是所求之特解。
2、求下列齐次方程的通解
（1） ；（2） .
解：原方程可改写 ，令 ，则 ，分离变量，得 ，两端积分 ，将 代入并化简，得通解 .
习题7-6常系数齐次线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
（1） （2） （3） （4） .
解(1)特征方程为 ,特征根为 ,故方程的通解为 ( 为任意常数).
（2）特征方程为 ,特征根为 ,故方程的通解为 ( 为任意常数).
（3）特征方程为 ,特征根为 ,故方程的通解为 ( 为任意常数).
(4)特征方程为 ,即 ,所以特征根为 ,故方程的通解为 ( 为任意常数).
解令 ,则 ,且原方程变为 .分离变量得 .
两边积分得 ,即 .
代入 ,得原方程的通解为 (C为任意常数).
习题7-4可降阶的高阶微分方程
1、求下列微分方程的通解
（1）
解 ，
(C1,C2为任意常数)
（2）
解令 ，则 ，且原方程化为 ，分离变量，得 。
两边积分得 ，即 ，也就是 。
两边再积分，得原方程的通解为 。(C1,C2为任意常数)
是原方程的一个特解，代入方程并消去 得 ，比较系数，得 ，即 。
故来自百度文库方程的通解为 (C1,C2为任意常数)。
2、求微分方程 满足所给初始条件的特解。
解因为特征方程 的特征根为 ,故对应的齐次方程的通解为 .
因 不是特征方程的根,故可设 是原方程的一个特解,代入方程得 ,即 .
于是原方程的通解为 且有 .
( 为任意常数).
（2）
解特征方程为 ,特征根为 ,故对应的齐次方程的通解为 .
又 是特征方程的单根,设 是原方程的一个特解,代入原方程并整理得 ,比较系数得 ,即 .所以原方程的通解为
( 为任意常数).
（3）
解对应齐次方程的特征方程为 ，解得 ，故对应的齐次方程的通解为
因 是特征方程的单根，故可设
（2）原方程可改写成 .令 ,即 ,所以有 .代入原方程得 ,整理并分离变量,得
.两边积分得 ,即 ,也就是 .将 代入上式,得原方程的通解为 (C为任意常数)
3、求微分方程 ， 满足所给初始条件的特解：
解：令 ，则 ，分离变量得 ，两端积分，得 ，将 代入并化简，得通解 ，由初始条件 ，求得 ，所求特解为 .
（3）
解令 ，则 ，且原方程化为 ，当 时，有 。分离变量，得
两边积分得 ，即 ，即 。
两边积分得 所以原方程的通解为 。(C1,C2为任意常数)
（注：如果p=0，则y为常数函数，也是原方程的解！）
2、求微分方程 满足所给初始条件的特解。
解令 ，则 ，且原方程化为 ，分离变量，得 ，两边积分得 。
代入初始条件 ，得 。从而有 ，即
2.求齐次方程 满足所给初始条件的特解
解原方程可写成 .令 ,即 ,有 ,所以原方程成为 .
分离变量,得 ,积分得 ,即
代入 并整理,得通解为 .
由初始条件 ,得 .于是所求特解为 .
习题7-4一阶线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
（1） （2） （3） .
解(1)由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为
,两边平方得 (其中 );
综上讨论知,原方程的通解为 ( 为不等于零的任意常数,C2为任意常数)
8、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1） ， ， .
解
（2） ， ， .
解
9、求下列微分方程的通解：
（1） ；
解
（3） .
解特征方程 的特征根为 ,故对应齐次方程的通解为
.
因 不是特征方程的特征根,故可设
代入初始条件 ,得 ,故曲线方程为 .
习题7-3齐次方程
1、求下列齐次方程的通解
（1）
解(a)当 时,可将方程改写成 .令 ,即 ,所以有 .则原方程成为 .分离变量,得 .
两边积分得 ,即 .
将 代入上式整理,得通解为 ;
(b)当 时,方程两边同除以 ,则原方程可改写成 ,即 (因为 时, ),也就是 .与x>0的情况一样)
2、求微分方程 满足所给初始条件的特解。
解解特征方程 ，得特征根为 。故方程的通解为
，且有 。代入初始条件 ，解得 。故所求的特解为 。
习题7-6常系数非齐次线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
（1）
解特征方程为 ,特征根为 ,故对应的齐次方程的通解为 .
又 不是特征方程的根,令 是原方程的一个特解,代入原方程得 ,消去 ,可得 ,即 .所以原方程的通解为
（1） ；
解
（2） .
解
6、用适当的变量代换将方程 化为可分离变量的方程，然后求出通解。
7、求下列微分方程的通解：
（1） ；
解
（2）
解令 ,则 ,原方程化为 .分离变量,得 .两边积分得 ,故
又分离变量,得 .
当 时,原方程为 .两边积分得 .即
,两边平方得 (其中 );
当 时,原方程为 .两边积分得 .即
(2)将原方程改写成 .由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为 .(C为任意常数)
(3)将原方程改写成 ,由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为
.
即 .(C为任意常数)
(注: ,当 时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当 时,则
与上述结果一样)
2、求微分方程 满足所给初始条件的特解。
解由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为
代入初始条件 ,有 解得
所以,满足初始条件的特解为 .
3、设函数 连续，且满足 ，求 。
解由所给方程可得 ，在该方程两端对x求导，得
，
即 （1）
将x=0代入方程（1）得 。又在方程（1）的两端对x求导，得
令 ，则有初值问题
（2）
上述二阶线性常系数非齐次微分方程的特征方程为 ，解得 ，而 不是特征方程的根，故令 是方程（2）得特解，代入方程（2）并消去 ，得 。于是方程（2）有通解 且有
所以,对任意的 ,方程的通解为 (C为任意常数).
（注:如果C=0,则由原方程知, ,即 或 ,若 ,则原方程变为 ,只有当 时成立;若 (A为常数),则原方程变成 ,当A<0时方程有解.）
（2）
解原方程可改写成 .令 ,即 ,所以有 .则原方程成为 .分离变量,得 .
两边积分得 ,即 .
将 代入上式,得通解为 (C为任意常数).
习题7-2可分离变量的微分方程
1求下列微分方程的通解：
（1） ；
解原方程为 ，分离变量得 两端积分得
，（C为任意常数）
即为原方程的通解。
（2） ；
解将原方程分离变量，得
两端积分得 或
故原方程的通解为 （C为任意常数）。
2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1） ；
解将原方程分离变量，得
两端积分得 ，即
.
代入初始条件x=0,y=0得C=0.故所求特解为 .
3、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点 处的切线斜率等于 。
解设曲线方程为 ,由题目条件得 ,即 由一阶线性微分方程的通解公式得,
由初始条件 得 .故所求曲线的方程为 .
4、用适当的变量代换将微分方程 化为可分离变量的方程，然后求出通解。