第二章1微分方程

u o (t ) R2 LCR 2 p ( L R1 R 2 C ) p ( R1 R 2 )
2
(t ) R1i (t ) u o (t ) u i (t ) Li
u i (t )
6
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输出=算符×输入
ui (t ) R2 LCR2 p 2 (L R1 R2 C) p (R1 R2 ) uo (t )
例 2.3 机械转动系统
输入：力矩 M；
z1 J 齿轮 1 轴 1 c1 M
M1 c2
输出：转角 2 M2 z2 主动轴1： J 1 1 c1 1 M 1 M 2 c 2 2 M fz M 2 从动轴2： J 2
1
2 J 2 齿轮 2轴
M fz
x x0 p p0
0
∶流量增益 ∶流量-压力系数
q( x, p) Kc p x x0
p p0
Kc 右端置负号的原因
↓， p↑，表明负载增 大，→ y
p p0
↓ 导致 q Ay
q( x, p) 0 p x x0
线性化函数： q K q x K c p 负载流量的微增量与阀芯位移微增量及 压力微增量成线性关系。
2.7 : Q( p )
2 cwxv

p
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提纲：§2-1系统的微分方程 一. 线性系统微分方程的规范化形式 二．微分方程的建立 例 2.1 机械移动系统 1. 微分方程的增量形式 2. 微分算子方块图 例 2.2 L,R,C电路 例 2.3 机械转动系统 例 2.4 电枢控制式直流电动机 3.建立系统微分方程的一般步骤 三．非线性微分方程的线性化 例：阀控油缸伺服系统：
xi 2( t )
系统
系统
xo 1( t )
xo 2( t )
a1xi 1( t )
系统
a1xo 1( t ) + a2 xo 2( t )
a2 xi 2( t )
二．微分方程的建立
例 2.1 机械移动系统
y (t ) 动力 滑台 工作台 铣刀 工件 f (t )
k c
y(t) m f (t)
ky m cy
y (t ) 1 mp cp k
2
f (t )
f (t )
1 mp 2 cp k
y(t )
y (t )
f (t ) (cp k ) y (t ) mp
2
f (t)
阻尼力和弹簧恢复力 b(t ) (cp k ) y(t )
+ b(t) cp +k
1 y(t) mp2
传动比:
1 z 2 M 2 i 2 z1 M 1
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消去中间变量 M 1 、 M 2 、 1 z 2 2 z2 2 z2 [ J 2 J 1 ( ) ] 2 (t ) [c 2 c1 ( ) ] 2 (t ) M fz M z1 z1 z1
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三．非线性微分方程的线性化 例：阀控油缸伺服系统：
原理：
问题：求 y f ( x)
油池
高压油 油池 阀芯
q q A
x y
p1
物理量：
（1）系统动力学方程： m y cy ky pA F （不显含x） （2）液压缸工作腔流体连续性方程：
p2
油缸 负载 m F
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c
q Ay
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（3）负载流量q与阀芯位移x,压差p的关系： q q( x, p) （非线性函数）
(4)将 q q( x, p) 线性化
台劳级数 设平衡位置(状态)为x0，p0。
q( x, p)
q( x, p) q( x, p) q( x0 , p0 ) ( x x0 ) ( p p0 ) x x x p p0 p x x0
输入:电枢电压 u a (t ) ;
输出:轴转角 (t )
8
ML Mq
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电压平衡方程: 电磁转矩: 力矩平衡方程: 反电动势:
3.建立系统微分方程的一般步骤
消去 M (t ) 、 ia (t ) 、E(t) (t ) ( RJ Lc) (t ) ( Rc K e K m ) ( t ) LJ L (t ) Kmua (t ) RM L (t ) LM
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选工作点 q( x0 , p0 ) 0 ， x0 0 ， p 0 0 ，
q K q x K c p （线性）
联立
解出
q Ay ，
p
1 1 K x q ) ( q ) ( K q x Ay Kc Kc
代入系统动力学方程
m y cy ky pA F
a (t ) Ri a (t ) u a (t ) E (t ) Li M (t ) C mi a (t ) K m i a (t ) (t ) c (t ) M L M (t ) J (t ) K e (t ) E (t ) C e
（1）选定系统及各元件(环节)的输入和输出, 列写各环节输入输出的动力学方程(子方程)； （2）对非线性项进行线性化处理； 9 （3）消去中间变量。
0
p p0
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q( x, p) q( x, p) q = q( x, p) - q( x0 , p0 ) x p
q( x, p) Kq x0 x x p p
x
x x0 p p0
p
线性化方法：预设工作点(x0，p0)应已知, 必须是小偏差,在预设点(附近)展成台劳级数, 略去二阶以上的高次项。 13
AK q A2 m y xF (c ) y ky Kc Kc
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小结 1.建立系统微分方程的一般步骤； 2.线性化方法.
作业： 复习P19—P26; 预习：P27—P34 习题：2.4,2.7
构成内反馈，是对外推力的反作用。
输出=算符×输入
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例 2.2 L,R,C电路
i(t ) L R1 C
i(t ) i1 (t ) i1 (t ) u o (t ) R2
输入：ui (t )
u i (t )
输出： uo (t ) 。
电压平衡方程
u i (t ) ( Lp R1 )i (t ) u o (t ) u o (t ) [i (t ) i1 (t )]R 2 1 1 i1 (t ) u o (t ) i1 (t )dt u o (t ) C p C
2 (t ) c 2 (t ) M fz M i ˆ2e J ˆ2e
M (t )
M fz (t )
i
-
1 p( J 2e p c 2e )
2 (t )
+
例 2.4 电枢控制式直流电动机
R i a (t ) u a (t ) L F Lf i1 (t ) Rf if uf
令 即
y y y0 ， f f f0
y y0 y ， f f0 f
2
△f
f0 f
f
当⊿f单独作用时 (mp cp k ) y (t ) f (t )
特别地，当y0 =0， f 0 =0 ，y y ，f f
4
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2. 微分算子方块图
y f
3
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方程：
f (t ) ky(t ) cy y (t ) m (t ). m y (t ) cy (t ) ky(t ) f (t ). y 2 (mp cp k ) y (t ) f (t ) △y y y0
1. 微分方程的增量形式
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复习：
1.反馈: 2.系统： 3.闭环系统：
给定 x i 环节 +
控制部分
输 入
系统
输 出
e 放大及运
xb

算环节 测量 环节
执行 环节
被控 对象
第 2 章 系统的数学模型
本章的任务：
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§2-1系统的微分方程
一. 线性系统微分方程的规范化形式
( n) ( n 1) Biblioteka Baidun xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
bm xi( m) (t ) bm1xi( m1) (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
( j) (i ) a x ( t ) b x j o i i (t ) j 0 i 0 n m
线性定常系统：各系数都是常数；
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叠加原理 xi 1( t )