概率论-边缘分布

由此可得（X, Y)的联合分布和边缘分布如下： Y X 1 2 1
1 3 1 6
1 9
11 18
2
0
1 6
1 9
5 18
3
0 0
1 9
2 18
Pi
1 3
1 3 1 3
3
P j
关于X和Y的边缘分布如下： Y
P j
1
11 18
2
5 18
3
2 18
X
Pi
1
1 3
2
1 3
3
1 3
2、二维连续型随机变量的边缘分布
第三章
多维随机变量及其分布
第二节
边缘分布
X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关 于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x), FY(y)。当已知 (X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过
FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y }
lim P{ X x, Y y} lim F ( x, y ) F ( x, )
边缘分布律, 关于X 的边缘分布律为
P{ X xi } pij , i 1, 2.
j
同理, ( X , Y )关于Y的边缘分布律为
P{Y y j } pij , j 1, 2,
i
记
pi pij p{ X xi }, i 1, 2,
j 1

p j pij p{Y y j }, j 1, 2,
解 (1) 设D {( x, y ) | 0 x y}, 如上图，
由联合概率密度函数的性质, 得
1=




f ( x, y )dxdy ae
D
ay
dxdy

0
dx ae
x

ay
1 dy a
从而
a 1.
例4: 设二维随机变量(X,Y) 的联合概率密度为 ae ay , 0 x y f ( x, y ) 其他 0, (1) 试求常数a; (2) 关于X的边缘概率密度 f X ( x); (3) 概率 P{ X Y 1}. 解 (2) X的边缘概率密度为
(2)求X 和Y的边缘分布函数;
(3)求P{0 X 2,0 Y 3}及P{ X 2}
解：(1) 由分布函数的性质，可得
F (, ) A( B )(C ) 1 2 2 y F (, y ) A( B )(C arctan ) 0 2 3 F ( x, ) A( B arctan x )(C ) 0
y y
FY ( y) P{Y y} P{ X , Y y}
lim P{ X x, Y y} lim F ( x , y ) F ( , y )
x x
求得两个边缘分布函数.
例1：设二维随机向量( X, Y )的联合分布函数为 y x F ( x, y) A( B arctan )(C arctan ) 2 3 (1)试确定A, B, C的值;

D G

f ( x, y )dxdy
y
D G
e
1 2 0
dxdy
1 x x
dx
e dy 1 e 2e
y
1

1 2
例5 .设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中 D={(x,y), x2+y2≤1},求X, Y的边缘密度函数 fX(x) 和 fY(y). 解:(1)由题意得:
二维正态分布
1
若(X, Y) 的联合密度函数为
1 f ( x, y ) exp{ 2 2 2(1 ) 2 1 2 1
x 1 2 x 1 y 2 y 2 2 [( ) 2 ( ) ]} 1 1 2 2
其中 1 , 2 为正数, 则称 ( X , Y ) 服从参数为 1 , 2 ,
2 π 1 1
2



e

1 2(1 )
2
( u 2 2 uv v 2 )
dv
f X ( x)
1 2 π 1 1 2



e

1 2(1 )
2
( u 2 2 uv v 2 )
dv


1 2π 1 1 2
1 2π 1 e
f X ( x)


1 2 2 ， x y 1 ， f ( x, y ) π 0， 其他. f ( x, y )dy
y 1 x2
Y
当|x|>1时, f(x,y)=0,所以, fX(x)=0 -1 1 1 x 2 1 x 2 X 当注意 |x|≤1时 , f X ( x ) 1 x2 1 x 2 f ( x, y )dy :均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 2 1 x 2 1 2 1 x dy 1 x 2 π y 1 x2 同理, 2 2 2 2 1 x , | x | 1, 1 y , | y | 1, f X ( x) π fY ( y ) π | x | 1. | y | 1. 0, 0,
1 2π 1
e

Fra Baidu biblioteku 2
2

1 2π 1

( x 1 )2
2 21
e
,
( x )
同理可得 fY ( y)
1 2π 2

( y 2 )2
2 2 2
e
,
( y )
2 由此可知, X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N (2 , 2 ).
x 1 2 x 1 y 2 y 2 2 [( ) 2 ( ) ]} 1 1 2 2
( x, y )
令u
x 1
1
v ，
y 2
2
1
, 由 f X ( x) f ( x, y )dy 知

f X ( x)
f X ( x)=
x y e x e dy, x 0 , x 0, f ( x, y)dy 0, 其他. 0, 其他

(3) 设 G {( x, y ) | x y≤1}, 则 D G 如图阴影所示. 从而
P{ X Y ≤1}
一、二维离散型随机变量的边缘分布
设( X , Y )为二维离散型随机向量, 其分布律为
P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,
于是有边缘分布函数
FX ( x) F ( x, ) pij
xi x j
X 和Y自身分布律分别称之为( X , Y )关于X 和关于Y的
设(X,Y)为二维连续型随机向量, 具有概率密度f (x,y), 则
FX ( x) F ( x, ) (

x


f ( x, y )dy )dx
从而知，X 为连续型随机变量且概率密度为
dFX ( x ) f X ( x) f ( x , y )dy dx
Y 记其号码. 求二维随机变量（X, Y）的联合分布和边
缘分布. 解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{ X i , Y j} P{ X i}P{Y j | X i} (i 1, 2, 3).
解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{ X i , Y j} P{ X i}P{Y j | X i} (i 1, 2, 3).
12 , 22 ,
的二维正态分布， 简记为
2 1 2 2
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , , , )
边缘分布分别为
X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 22 )
1
因为
1 f ( x, y ) exp{ 2 2 2(1 ) 2 1 2 1
同理，Y 也是连续型随机变量，其概率密度为
dFY ( y ) fY ( y ) f ( x , y )dx dy
分别称f X ( x), fY ( y )为( X , Y )关于X 和关于Y 的边缘概
率密度.
例4: 设二维随机变量(X,Y) 的联合概率密度为 ae ay , 0 x y f ( x, y ) 其他 0, (1) 试求常数a; (2) 关于X的边缘概率密度 f X ( x); (3) 概率 P{ X Y 1}.
i 1

分别称 pi , p j (i, j 1 ， 2， ) 为 ( X , Y ) 关于X和Y 的边缘分布律.
X
x1 x2
Y
y1 p11 p21
y2 p12 p22
pi p1 p2
p
j
p1
p2
例2 从三张分别标有1,2,3号的卡片中任意抽取一张， 以X 记其号码，放回之后拿掉三张中号码大于X的卡片 （如果有的话），再从剩下的卡片中任意抽取一张，以
2 2
由此可解得, A 12 , B , C . 2 2
(2)由定义可得
FX ( x) F ( x, ) 12 ( arctan x ) 1 1 arctan x 2 2 2 2
y y 1 1 1 FY ( y ) F (, y ) 2 ( arctan ) arctan 3 2 3 2
(3)由X 的边缘分布函数, 得
P{ X 2} 1 P{ X 2} 1 FX (2) 1 4 由（X, Y）的联合分布函数可得
P{0 X 2, 0 Y 3} F (2,3) F (2, 0) F (0,3) F (0, 0)
9 3 3 1 1 16 8 8 4 16
u2 2
e
u2 2



e

( v u )2 2(1 2 )
dv
dv


1 2π 1
2

e

( v u )2 2(1 2 )
注意到积分中被积函数为正态分布 N ( ,1 2 ) 的概 率密度, 积分值应为1, 从而
f X ( x)