概率论与数理统计-3.2边缘分布讲解

解
(1)由题意得:
1
f ( x, y)
0

fX (x)
f (x, y)dy

x2 y2 1 其它
当|x|>1时 , f (x,y)=0 , 所以 , f X(x)=0
当|x|≤1时,
1 x2
1 x2

-1
fX (x) [

] f ( x, y)dy

fY ( y)
f (x, y)dx

分别称fX(x), fY(y)为二维连续型随机变量(X,Y)关 于X和Y的边缘概率密度函数，简称密度函数。
边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.
15
例 设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布 , 其中
D={(x,y) , x2+y2≤1} , 求X ,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).
1 6/25 4/25 2/5
P.j 3/5 2/5
12
注：由此例可见，不同的联合分布可有着相同 的边缘分布，从而边缘分布不能唯一确定联合 分布！
13
3. 二维连续型随机变量的边缘分布
对于二维连续型随机变量(X,Y), 设其概率密度函数 为f (x,y)，分布函数为F(x,y)，则有
x
FX (x) F(x,)
y
y
6dx

6(

0,
y y),
0 x 1 其它
0 y 1 其它
21
例 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
e y , 0 x y ⑴ 求随机变量X的边缘密度函数；
f (x, y) 0,
其他 ⑵ 求概率P(X+Y≤1).
解 (1)x≤0时, fX(x)=0;
每次取一个球，在放回和不放回的情况下. 令
1 第一次取到黑球
1 第二次取到黑球
X 0 第一次取到白球, Y 0 第二次取到白球,
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
解 已知
f
(x,
y)

1
21 2
1
2
exp{
1
2(1 2 )
[( x 1 )2 2 x 1 y 2 ( y 2 )2 ]}
1
1 2
2
为了计算方便，设
x 1 u 1
y 2 v 2
23
则(X,Y)关于X的边缘密度函数为
1 x2
1 x2
y 1 x2
Y
1 X
1x2 1 dy 2 1 x2
1 x2

y 1 x2
所以,
2
f X ( x)
1 x2 | x | 1
0
| x | 1
16
同理,
2
fY ( y)
0
1 y2 | y | 1 | y | 1

f (u, y)dudy

x
[ f (u, y)dy]du
y
FY ( y) F(, y)

f (x, v)dxdv

y
[ f (x,v)dx]dv
14
记

f X (x)
f (x, y)dy

25
p. j p.1 p.2 p. j
7
例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一个 值, 令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取一个值. 求（X，Y）分别关于 X 和 Y 的边缘分布律.
解 P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4) , (i≥j)
0
1
c
1
[
x
2
(2

x)
/
2]dx

5c
1
0
24
y=x x
所以，c = 24/5
18
注意积分限
(2)
fX (x)

f (x, y)dy

x 24 y(2 x)dy 05
12 x2(2 x), 5
0 x 1
注意取值范围
同理
fY (y)
1 24 y(2 x)dx y5
. 其它
求 (X ,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 FY ( y) .
解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数
FY
(
y)

F
(,
y)

lim
x
F
(x,
y)


lim [1
x

e 0.5 x

e0.5 y

e ] 源自文库0.5( x y)
0
y 0 1 e0.5 y
2
1. 边缘分布函数
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，关于X和 Y的边缘分布函数分别记为FX(x)和FY(y). 联合分布可以确定边缘分布
FX
(x)

P( X

x)

P( X

x,Y

)

F ( x,)

lim
y
F ( x,
y)
FY
( y)

P(Y

y)

P(X

,Y
(j=1,2,...)
P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
其分布表如下:
6
Y X
y1 y2 y j
p. i .
x1 p11 p12 p1 j p1.
x2 p21 p22 p2 j p2.


xi pi1 pi2 pij pi.


y 0 0
y0. y0
即 Y 服从参数λ =0.5 的指数分布.
4
2. 二维离散型随机变量的边缘分布
对于二维离散型随机变量(X,Y), 分量X,Y的分布列 （律）称为二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘概 率分布或分布列（律）.
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为
P(X=xi ,Y=yj)＝Pij , i,j=1,2,...,
解 显然有
P( X

i)

P(Y

i)

C3i

1 3
i


2
3i

,
3
i

0,1,2,3.
又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立, 所以有
P(X i,Y j) P(X i)P(Y j)

C3i

1 3
i


2 3
3i

P.j 3/5 2/5
11
在放回抽样下，两次抽取相互独立，故
P(X=0,Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=3/5 ×3/5 =9/25
类似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25，P(X=1,Y=0)=6/25， P(X=1,Y=1)=4/25， 列表如下
XY 0
1
Pi.
0 9/25 6/25 3/5
24 y( 3 2 y y2 ), 0 y 1
52
2
19
即
f
X
(
x)

12 5
x2
(2

x),
0 x 1
0,
其它
fY ( y)

24 5
y( 3 2
2y

y2 2
),
0 y 1
0,
其它
注意：在求二维连续型随机变量的边缘概率密度时， 往往要对联合概率密度在一个变量取值范围上进行 积分. 当联合密度函数是分段函数的时候，在计算 积分时应特别注意积分限 .
注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布
17
例 设(X,Y)的概率密度是
f
(
x,
y)

cy(2
0
x), ,
0 x 1, 0 y x 其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘概率密度.
解 (1)

f (x, y)dxdy

y
1x
0[0 cy(2 x)dy]dx
则 P(X=xi)= P(( X xi ) [ (Y y j )])
j
P(( X xi ) (Y y j ))
j
P(X xi ,Y y j ) pij (i=1,2,...)
j
j
5
同理:
P(Y y j ) pij
i
一般地, 记:
于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为
YX
1
1
1/4
2
0
3
0
4
0
2
3
4
1/8
1/12
1/16
1/8
1/12
1/16
0
1/12
1/16
0
0
1/16
P(Y=j) 25/48 13/48 7/48 3/48
P(X=i)
1/4
1/4
1/4
1/4
1
8
例: 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为 1,2,3的三个盒子中. 记落入第1号盒子的白球个数 为X , 落入第2号盒子的红球个数为Y. 求(X,Y)的 分布律和关于X和Y的边缘分布律.

y)

F (,
y)

lim
x
F ( x,
y)
注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
3
例: 设 (X ,Y ) 的联合分布函数
1 e0.5x e0.5 y e0.5(x y) x 0, y 0
F(x, y) 0

2 1
2
1 1
e dv
( vu )2 2(12 )
2
积分中的被积函数恰好是服从
正态分布 N (u, ( 1 2 )2的)
随机变量的密度函数

1
e ,
( x1 )2 212
x
2 1
24
同理，(X,Y)关于Y的边缘密度函数为

fY ( y) f (x, y)dx

1
1( y2 )2
e 2 2 , y ,
2 2
由此可见：二维正态分布的两个边缘分布都是一维
正态分布，而且这两个边缘分布与其中的参数ρ无
关。即 X ~ N (1,12 )
Y
~
N
(2
,
2 2
)
这表明，仅仅由X和Y的边缘分布，一般不能完全 确定二维随机变量(X,Y)的联合分布。
§3.2 边缘分布
1. 边缘分布函数 2. 二维离散型随机变量的边缘分布 3. 二维连续型随机变量的边缘分布
1
二维随机变量(X,Y)的分量X和Y是一维随机变量, 它们各有其分布，称为(X,Y)分别关于X和Y的边 缘分布. 本节主要讨论二维离散型随机变量(X,Y)分别关 于X和Y的边缘分布律和二维连续型随机变量 (X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度函数.
4/9
2
(8/27) (2/9) (4/9) (2/9) (2/9) (2/9) (1/27) (2/9)
2/9
3 (8/27) (1/27) (4/9) (1/27) (2/9) (1/27) (1/27) (1/27) 1/27
P(Y=j)
8/27
4/9
2/9
1/27
1
10
例 袋中有 2 个黑球 3 个白球，从袋中随机取两次,

fX (x) f (x, y)dy

1
21 2 1 2

exp[


2(1
1

2
)
(u
2

2uv

v
2
)]
2dv
1
21 1 2

exp{

2(1
1

2
)
[(u
2


2u
2
)

(

2u
2

2
uv

v
2
)]}dv

1
e
u2 2
x>0时, fX(x)=

f ( x, y)dy

eydy e x x
所以,
e x
f
X
(
x
)

0
x0 x0
e y
y=x x+y=1
1/2
⑵ P(X+Y≤1)=
1/ 2
dx
1x eydy

1

e
1

2e
1 2
0
x
22
例 求二维正态随机变量的边缘密度函数.
20
例 设随机变量X和Y具有联合概率密度
6, f (x, y)
0,
x2 y x 其它
求边缘概率密度fX(x)和fY(y). 解
fX (x)

f
(x,
y)dy


x x2
6dy

6(x
x2 ),

0,
fY ( y)

f
(x,
y)dx


C3j

1 3

j

2 3
3

j
i, j 0,1,2,3
9
用表格可如下表示
XY
0
1
2
3
P(X=i)
0 (8/27) (8/27) (4/9) (8/27) (2/9) (8/27) (1/27) (8/27) 8/27
1
(8/27) (4/9) (4/9) (4/9) (2/9) (4/9) (1/27) (4/9)