反比例函数题型总结
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反比例函数
一、反比例函数的概念
1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为-1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;
2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;
3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.
二、反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).
三、反比例函数及其图象的性质
1.函数解析式:()2.自变量的取值范围:
3.图象:
(1)图象的形状:双曲线.
越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大.
(2)图象的位置和性质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;
当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.
(3)对称性:
图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.
4.k的几何意义:
如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩
形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.
5.说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.
(2)直线与双曲线的关系:
当时,两图象没有交点;
当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
四、充分利用数形结合的思想解决问题.
1.反比例函数的概念
(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.y=3x B. C.3xy=1 D.
(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.B. C. D.
2.图象和性质
(1)已知函数是反比例函数,①若它的图象在第二、四象限内,那么k=_________ ②若y随x的增大而减小,那么k=___________.
(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.
(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.
(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,则直线不经过的象限是().
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,则一次函数y=kx+m的图象经过().
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().
A.B. C.D.
3.函数的增减性
(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则
的值为().
A.正数B.负数C.非正数 D.非负数(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().
A.<< B.<< C.<< D.<<
(3)下列四个函数中:①;②;③;④.y随x的增大而减小的函数有().
A.0个 B.1个C.2个D.3个
(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例
函数的函数值y随x的增大而______ (填“增大”或“减小”).
4.解析式的确定
(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().
A.正比例函数 B.反比例函数C.一次函数 D.不能确定
(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.
(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.
(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P(x0,3).①求x0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.
5.面积计算
(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().A. B. C. D.
第(1)题图第(2)题图
(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则().
A.S=1 B.1<S<2 C.S=2 D.S>2 (3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.
(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2,P2R2,垂足分别为Q2,R2,求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长,并比较它们的大小.
(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.
第(5)题图第(6)题图
(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,AB⊥x
轴于B且S△ABO=.①求这两个函数的解析式;②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC
的面积.
(7)如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在
函数(k>0,x>0)的图象上,点P (m,n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.
① 求B点坐标和k的值;② 当时,求点P的坐标;③ 写出S关于m的函数关系式.