超静定次数的确定及基本结构的取法
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x3 1
M1
M2
M3
11
x1
12 x2
13 x3
1p
0
解：1、方程： 21x1 22 x2 23 x3 2 p 0
31x1 32 x2 33 x3 3 p 0
提示物理意义。
根据对称性：12 21 0 32 23 0
11
72 EI
22
60 EI
二、桁架
例题：试计算图示桁架。
P
P
(1)
(3 2 2)P
(2 2)P 2( 2 1)P (2 2)P a
( 2 1)P
2a
2a
P
P
x1
2
x1 1
2
2 2 2
2 2 2
1/ 2
1/ 2
N1
2P 2
P
2P 2
P
2P 2
P/2
P/2
NP
11x1 1p 0
11 (3 2 2)a / EA
（1）、主系数： ii >0
ij ：j 方向上的单位力在 I 方向产生的位移。
（2）、负系数： ij ji (i j) 可以正、负、零
ij ji ——位移互等定理。
（3）、 ip ：自由项
（4）、 M M 1x1 M 2 x2 M n xn M P
（5）、 M Q N
第六章 力法
§6—1 超静定次数的确定及基本结构的取法
超静定结构：具有多余联系的几何不变体系。 超静定次数：多余联系的数目。 多余力：多余联系所发生的力。 超静定次数的判定： 1、去掉一个支链杆相当于去掉一个约束。
x1
x1
x1 绝对需要的约束不能去掉
x1
2、去掉一个铰相当于去掉两个约束。
x2 x1
33
8 EI
13
31
18 EI
1P
1134 EI
2P
756 EI
3P
252 EI
得： x1 18kN x2 12.6kN x3 9kN m
M M 1 x1 M 2 x2 M 3 x3 M P
28.8
46.8
（63）
115.2
61.2
M（kNm）
与教材所造基本结构难易程度对比， 说明利用对称性的重要性。
共同作用下，在去掉约束处的位移等于原结构的实际 位移。
11 x1 1p 0
11 ——单位约束力作用下，基本结构去掉约束处的
位移。
1 p ——荷载作用下，基本结构去掉约束处的位移。
*a）、力法方程是一个位移协调方程。 b）、右侧不一定为零。
③求系数11 和自由项 1 p
11
l3 3EI
1p
5Pl 3 48 EI
QBC NBA
N BC
9 80
P
N BA
46 80
P
46 P 80
34 P 80
46 P 9 P 80 80
Q
N
9P 80
例：分析图示结构（让学生先看书上例题，提问这样造基本结构的好处）
q=14kN/m 3EI
2EI 2EI 6m
3m 3m
x1 1
x1 x2 x3
x2 1
3m
3m
MP
252kN
Ml 2 2EI
x1
3M 7l
x2
6M 7l
4）、 M M1x1 M 2 x2 M P （讲一下弯矩图的叠加）
几次超静定的力法方程：叙述一下力法方程的物理意义。
11x1 12 x2 1n xn 1p
12 x1
22 x2
2n xn
2p
位移协调方程。
n1x1 n2 x2 nn xn np
L 6EI
22
L 3EI
1P
PL2 32 EI
2P 0
x1
6PL 80
x2
3PL 80
M M1x1 M 2 x2 M P
(2)、求剪力，轴力。
M Q
6 PL 80
QBA
QAB
QBA
9P 80
3
QAB
PL
80
QBC
6
PL
80
QCB
QBC
46 P 80
QCB
34 P 80
Q N
NBC
QBA
1P Pa/ EA
l
MP
1 ql 2 2
5 ql 2 16
3 ql 16
M
例题： B
P C
2EI
P x1
EI A
L x2
L/2 L/2
x1 1
P PL/4
MP 6 PL 80
x2 1
3
M
M1
M2
PL 80
解：（1）
11 x1 21x1
12 x2 22 x2
1p 2p
0 0
11
L 2EI
12
21
M L
M
x2
x1
L
基本结构
M
MP
L L
x1 1 M1
x2 1
4M
3M 7
7
M2
M
L
解：1）、基本结构；
2）、力法方程：
11 x1 21x1
12 x2 22 x2
1p 2p
0 0
3）、求系数： 11
4l 3 3EI
12
21
l3 2EI
22
l3 3EI
1P
Ml 2 EI
2P
x2 x1
3、去掉一个固定端相当于去掉三个约束。
x2
Baidu Nhomakorabeax1
x3
4、切断一个梁式杆 去掉三个约束。
x1 x3
x2
5、刚结变铰接 去掉一个约束。
例：
L PL/2 3PL/16
§6—2 力法原理
P
基本结构 P
基本体系
x1
M1
x1 1
P
MP
解：①基本结构，基本体系 ②列力法方程：基本结构在多余约束力和荷载的
x1
1p 11
5P 16
④ M M 1x1 M P
5PL/32
解法二：
x1
P
x1 1 M1 1
MP
解法三：
PL/4 P
x1
M1 L
MP
PL/2
解：1）、基本结构；
2）、11 x1 1p 0
3）、 11
l 3EI
Pl 2 1p 16 EI
x1
1p 11
3 Pl 16
4）、 M M 1x1 M P （同上）
解：1）、基本结构；
2）、11 x1 1p 0
3）、 11
l3 3EI
1p
11Pl 3 48 EI
x1
1p 11
11 P 16
4）、 M M 1x1 M P （同上）
通过选择多种基本结构，加深理解力法方程的物理意义。 熟悉力法解题步骤，增加解题的灵活性。
例题：作 M 图（提问：加深对脚标的印象及系数的特点）
4l 3EI
ql 3
1p
24 EI
x1
1p 11
ql 2 32
M M 1x1 M P
1 ql 2 32
(1 ql 2 ) 8
M
M1
l
EI
EI
l
l
x1
x1 1
解：11 x1 1p 0
11
2l 3 3EI
1p
ql 4 8EI
x1
1p 11
3ql 16
M M 1x1 M P
例题：选择恰当的基本结构，作弯矩图。 （基本结构的选择直接影响到解题过程的繁简程度）
q
l
l
l
x1
x2
x1
x2
worst
x1
x2
better
best
例题：
M1 MP
§6—3 荷载作用下，力法解超静定
一、超静定刚架、梁
q
EI
EI
l
l
q
x1
x1 1
(1 ql 2 ) 8
解：11 x1 1p 0
11
M1
M2
M3
11
x1
12 x2
13 x3
1p
0
解：1、方程： 21x1 22 x2 23 x3 2 p 0
31x1 32 x2 33 x3 3 p 0
提示物理意义。
根据对称性：12 21 0 32 23 0
11
72 EI
22
60 EI
二、桁架
例题：试计算图示桁架。
P
P
(1)
(3 2 2)P
(2 2)P 2( 2 1)P (2 2)P a
( 2 1)P
2a
2a
P
P
x1
2
x1 1
2
2 2 2
2 2 2
1/ 2
1/ 2
N1
2P 2
P
2P 2
P
2P 2
P/2
P/2
NP
11x1 1p 0
11 (3 2 2)a / EA
（1）、主系数： ii >0
ij ：j 方向上的单位力在 I 方向产生的位移。
（2）、负系数： ij ji (i j) 可以正、负、零
ij ji ——位移互等定理。
（3）、 ip ：自由项
（4）、 M M 1x1 M 2 x2 M n xn M P
（5）、 M Q N
第六章 力法
§6—1 超静定次数的确定及基本结构的取法
超静定结构：具有多余联系的几何不变体系。 超静定次数：多余联系的数目。 多余力：多余联系所发生的力。 超静定次数的判定： 1、去掉一个支链杆相当于去掉一个约束。
x1
x1
x1 绝对需要的约束不能去掉
x1
2、去掉一个铰相当于去掉两个约束。
x2 x1
33
8 EI
13
31
18 EI
1P
1134 EI
2P
756 EI
3P
252 EI
得： x1 18kN x2 12.6kN x3 9kN m
M M 1 x1 M 2 x2 M 3 x3 M P
28.8
46.8
（63）
115.2
61.2
M（kNm）
与教材所造基本结构难易程度对比， 说明利用对称性的重要性。
共同作用下，在去掉约束处的位移等于原结构的实际 位移。
11 x1 1p 0
11 ——单位约束力作用下，基本结构去掉约束处的
位移。
1 p ——荷载作用下，基本结构去掉约束处的位移。
*a）、力法方程是一个位移协调方程。 b）、右侧不一定为零。
③求系数11 和自由项 1 p
11
l3 3EI
1p
5Pl 3 48 EI
QBC NBA
N BC
9 80
P
N BA
46 80
P
46 P 80
34 P 80
46 P 9 P 80 80
Q
N
9P 80
例：分析图示结构（让学生先看书上例题，提问这样造基本结构的好处）
q=14kN/m 3EI
2EI 2EI 6m
3m 3m
x1 1
x1 x2 x3
x2 1
3m
3m
MP
252kN
Ml 2 2EI
x1
3M 7l
x2
6M 7l
4）、 M M1x1 M 2 x2 M P （讲一下弯矩图的叠加）
几次超静定的力法方程：叙述一下力法方程的物理意义。
11x1 12 x2 1n xn 1p
12 x1
22 x2
2n xn
2p
位移协调方程。
n1x1 n2 x2 nn xn np
L 6EI
22
L 3EI
1P
PL2 32 EI
2P 0
x1
6PL 80
x2
3PL 80
M M1x1 M 2 x2 M P
(2)、求剪力，轴力。
M Q
6 PL 80
QBA
QAB
QBA
9P 80
3
QAB
PL
80
QBC
6
PL
80
QCB
QBC
46 P 80
QCB
34 P 80
Q N
NBC
QBA
1P Pa/ EA
l
MP
1 ql 2 2
5 ql 2 16
3 ql 16
M
例题： B
P C
2EI
P x1
EI A
L x2
L/2 L/2
x1 1
P PL/4
MP 6 PL 80
x2 1
3
M
M1
M2
PL 80
解：（1）
11 x1 21x1
12 x2 22 x2
1p 2p
0 0
11
L 2EI
12
21
M L
M
x2
x1
L
基本结构
M
MP
L L
x1 1 M1
x2 1
4M
3M 7
7
M2
M
L
解：1）、基本结构；
2）、力法方程：
11 x1 21x1
12 x2 22 x2
1p 2p
0 0
3）、求系数： 11
4l 3 3EI
12
21
l3 2EI
22
l3 3EI
1P
Ml 2 EI
2P
x2 x1
3、去掉一个固定端相当于去掉三个约束。
x2
Baidu Nhomakorabeax1
x3
4、切断一个梁式杆 去掉三个约束。
x1 x3
x2
5、刚结变铰接 去掉一个约束。
例：
L PL/2 3PL/16
§6—2 力法原理
P
基本结构 P
基本体系
x1
M1
x1 1
P
MP
解：①基本结构，基本体系 ②列力法方程：基本结构在多余约束力和荷载的
x1
1p 11
5P 16
④ M M 1x1 M P
5PL/32
解法二：
x1
P
x1 1 M1 1
MP
解法三：
PL/4 P
x1
M1 L
MP
PL/2
解：1）、基本结构；
2）、11 x1 1p 0
3）、 11
l 3EI
Pl 2 1p 16 EI
x1
1p 11
3 Pl 16
4）、 M M 1x1 M P （同上）
解：1）、基本结构；
2）、11 x1 1p 0
3）、 11
l3 3EI
1p
11Pl 3 48 EI
x1
1p 11
11 P 16
4）、 M M 1x1 M P （同上）
通过选择多种基本结构，加深理解力法方程的物理意义。 熟悉力法解题步骤，增加解题的灵活性。
例题：作 M 图（提问：加深对脚标的印象及系数的特点）
4l 3EI
ql 3
1p
24 EI
x1
1p 11
ql 2 32
M M 1x1 M P
1 ql 2 32
(1 ql 2 ) 8
M
M1
l
EI
EI
l
l
x1
x1 1
解：11 x1 1p 0
11
2l 3 3EI
1p
ql 4 8EI
x1
1p 11
3ql 16
M M 1x1 M P
例题：选择恰当的基本结构，作弯矩图。 （基本结构的选择直接影响到解题过程的繁简程度）
q
l
l
l
x1
x2
x1
x2
worst
x1
x2
better
best
例题：
M1 MP
§6—3 荷载作用下，力法解超静定
一、超静定刚架、梁
q
EI
EI
l
l
q
x1
x1 1
(1 ql 2 ) 8
解：11 x1 1p 0
11