必修四 第一章 三角函数(知识点与题型整理)

三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式

二．要点精讲

1．任意角的概念

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.

角α的弧度数的绝对值是：r

l

=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒

=。 弧度与角度互换公式：1rad ＝π

180° 1°＝180

π（rad ）。

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2

1

21r r l S α==。 4．三角函数定义

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:

(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）

y

x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x

α=≠。 5．三角函数线

6．同角三角函数关系式

（1）平方关系：2

2

2

2

2

2

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示

)

7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈

诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-

诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=

－α απ-

απ+

απ-2

()

Z k k ∈+απ2

απ

-2

sin －sin α sin α －sin α －sin α sin α cos α cos

cos α

－cos α

－cos α

cos α

cos α

sin α

（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

（3）sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)； （4）sin cos cos 444x x x πππ⎛

⎫

⎛⎫⎛⎫+

=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫

+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。 三．思维总结

角的终边所在位置 角的集合

X 轴正半轴 {}Z k k ∈︒⨯=,360|αα

Y 轴正半轴 {}Z k k ∈︒+︒⨯=,90360|αα X 轴负半轴

{}Z k k ∈︒+︒⨯=,

180360|αα

2．α、

2

、2α之间的关系。 若α终边在第一象限则2α

终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。

若α终边在第二象限则2α

终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。

若α终边在第三象限则2α

终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。

若α终边在第四象限则2

α

终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。

3．学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。

三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离

r =那么sin α=

cos α,tan y x

α=。

三角函数的图象与性质

二．要点精讲

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+-222

2ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++2322

2ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，

)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭

⎫

⎝

⎛+-22

ππππk k ，)(Z k ∈，

3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是

ϕ；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的

对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标

变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移

ω

ϕ|

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。