由“牧童放牛”想到的——求线段和最小值问题初探

A
D
．
B E C
如图，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别 在AB、BC上，AE＝3，CF＝1，P是对角线AC 上的一个动点，则PE＋PF的最小值是( )
D C F
A
E
B
（2001•海南中考）如图所示，在边长为6的菱形 ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上一 动点，则EF+BF的最小值是 。 D C
4.（2010天津市中考） 在平面直角坐标系中， 矩形OACB的顶点O在 坐标原点，顶点A、B 分别在x轴、y轴的正半 轴，OA=3，OB=4，D 为边OB的中点。
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE周长 最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、点F的坐 标.
O
P
N
某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座泵水站， 分别向河的同一侧的张村Q和李村P送水，工程人员设计 图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的 直线为X轴建立坐标系，Q（2，3），P（12，7）， 泵水站 建在距离大 桥O多远的 地方可使输 水管道最短？
y
P（12，7）
（2 ，3 ）
F
A
E
B
（2005年•河南中考）如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为 梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的 最小值为_____________。
（2000年•荆门中考）如图，A是半圆上一个三等 分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP的最小值是 。 A B M
1、（2008年•呼和浩特） 如图，已知梯形ABCD ， AD∥BC，AD =DC=4，BC =8， 点N在BC上，CN =2，E是AB 中点，在AC上找一点M使 EM+MN的值最小，此时其最 小值一定等于 .
2、如图，A处为牧草地，B处是牧童的家，A，B两处 距河岸的距离分别为AC=35m，BD=125m，且AB两地的 距离为150m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水， 再赶回家．为了使所走的路程最短，牧童应将马赶 到河边的什么地点？请你在图中画出来；请你求出 他要走的最短路程．
四、质疑再探、勇攀高峰
1、（2011•深圳中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的
顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐 标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中 点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上 的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的 四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若 不存在，请说明理由；
考点1、两点之间线段最短
2、小牧童，从A地出发，赶着牛群到河岸边L饮 水，然后再到B地，请问怎样选择饮水的地点， 才能使牛群所走的路程最短？ A
成轴对称的两个点到 对称轴上任意一点的 距离相等。
B
P
L
.
A′
二、合作学习、展现精彩
如图,等边Δ ABC中，边 长=1，E是边BC的中点， BD是AC边上的高，在BD 上确定一点，使其到E、 C的距离和最小，这个最 小值是 .
Q O
Q1
M
x
（2，-3）
（2008巩义市期末考试） 如图，抛物线y=x²+bx+c与x 轴交于两点A（-1，0）， B （3 ，0 ） （1）求抛物线的解析式； （2）设1中抛物线交y轴于C点， 在抛物线的对称轴上是否存在 点Q，使得△QAC的周长最短， 若存在，求出点Q的坐标；若 不存在，请说明理由.
、
3.（2008中考说明）
如图两艘军舰A、B在某海港中的 位置坐标分别为（2，9）和（10， 1），在Ox和Oy两岸上各有一个 军需所，A舰舰长乘小艇从A舰出 发，先到Oy边的军需所，再到Ox 边的军需所各 取一些物资，然后 一块送到B舰上，要使舰长所走 的水路最近，他应分别在Ox、Oy 岸边的何处上岸？
学习目标：
1.灵活掌握定理“两点之间线段最短” 和“轴对称的性质”.
2.体会转化思想在数学中的应用，即化 复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体 问题.
一、课本中的两点基本知识：
1、如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛 群到B地，请问他应该选择怎样的路径， 才能使牛群所走的路程最短？ 为什么？
B
A
y
o A B x
C
如图，∠MON=30°，A为OM上一点，OA=1，D为ON 上一点，OD=3，C为AM上任意一点， B为OD上任意一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD的 D′ 最小值是多少？
.
M
O
. . A′
A C B
.
D
N
三、自悟自得（小结）： 这一类型题的共同特征是：利 用 和 的知识， 将“不在同一直线上的线段和 ” 转化为 ，从而做到 化复杂为简单，化抽象为具体。
C ． E
Y
A ．
O
F
B ．源自文库． D
X
解：求出A点关于Oy的对称点C，B点关于Ox的对称点D，连接CD交 Oy于E点，交Ox 于F点，E点是舰长在Oy岸边登陆的位置，F是舰长在 Ox岸边登陆的位置； ∵A、C两点关于Oy对称，∴EA=EC， ∵B、D关于Ox对称，∴FB=FD 舰长所走的水路为AE+EF+BF=CE+EF+DF，C、E、F、D在同一条直线上 ∴ AE+EF+BF=CE+EF+DF=CD，此时水路最短，也就是CD的长；求出直线CD 的解析式，即可的到E、F两点的坐标，也就是舰长分别在Ox、Oy岸边登陆的位 置。