第三章 3典型信号傅里叶变换性质1 PPT课件

对称性 f (t) E
0
2
2
t
1
2
Ec
f (t)
0
2
2
t
c
c
E F()
0
2
2
E
c 0
2
F ()
c
2
例题：已知f(t)如下所示，求F(ω)
1 f (t) 1 t 2
分 析 ：F () f (t)e jtdt 1 e jtdt
1 t 2
直接求解不容易。
1
考虑信号的形式，联想频谱函数的形式：1 2 可以想到双边指数函数的频谱函数： 2a
(a 0)
时域波形
0
t
F()
2a
a2
2,
F ()
2a
a2 2
() 0
正实偶函数
1
e f (t) a t
(a 0)
时域波形
0
t
2 F() 2a
a2 2
a
1
a
a 0 a
频域频谱 相位等0
奇双边指数信号的傅里叶变换
f
(t
)
eat eat
实奇函数
t0 a0
t0
f (t) 1
0
t
1
2
F ()
1.信号在时间轴上的平移对应频域中的相移 （相位谱产生附加相移）
2.信号在时间轴上的平移不会影响信号的幅频 特性
例题：写出下列信号的傅里叶变换
f1(t)
2
0
4 6t
f3 (t )
2 1
0 1 2 3t
f 2 (t )
24
0
t
2
课本例题131页： 例题3-2 3-3
主要内容
典型信号的傅里叶变换 信号频谱的概念：幅度谱和相位谱 信号频谱带宽的概念：信号幅度谱的带宽，
3.5典型非周期信号的傅里叶变换
（1）单边指数信号
f (t) eatU (t) (a 0)
F(j) 1 a j
（2）双边指数信号
f (t) ea t a 0
实偶函数
1
e f (t) a t
(a 0)
时域波形
0
t
f (t) ea t a 0
实偶函数
其傅里叶变换为：
1
e f (t) a t
F ()＝ F () e j() 4.若 f (t) F() 则有：
f (-t) F() f (t) F() f (-t) F()
思考：实信号偶分量和奇分量的傅里叶变换
4. 时移特性
若 f (t) F () 则有： f (t t0 ) F ()e jt0 f (t t0 ) F ()e jt0
a2 2 利用对称性质求解。
由：ea t
2a
a2 2
可知：
1 e t 2
1
1
2
t
2
1
1
2
1 e 2
e
2.线性
若 f1(t) F1() f2 (t) F2 ()
则有：
a 1
f1(t)
a 2
f2 (t)
a 1
F1
(
)
a 2
F2
(
)
3.奇偶虚实性
1.若f (t)为实偶函数，则F()为的实偶函数 2.若f (t)为实奇函数，则F()为的虚奇函数 3.实信号的幅频特性 F() 为的偶函数，相频特性()为的奇函数
a2
2
F ()
2 j a2
2
,
（纯虚奇函数）
( )
2
2
,
,
0 0
1 0 时域波形
2
1
F () a2 2
a
t
a0 a
w
频 域 频 谱
(w) 2
2
w0 w0
2
0
w
2
（3）矩形脉冲信号
E
f
(t)
E
u
t
2
u
t
2
F
()
E
Sa
2
实偶函数
2
0
2
t
2
0 2
w
时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限分布。通常，认为 信号占有频率范围（频带）为：
信号主要能量集中的频带范围，有多种定义 方式； 傅里叶变换的性质：线性、对称性、奇偶虚 实性、时移特性
正确理解傅里叶变换及信号频谱的物理意义
作业：
3-21 3-22
•学习傅里叶变换的其他性质
F () f (t)e jtdt
ea t e jt dt
0 eate jt dt eate jt dt
冲激函数的频谱等于常数。
d (w)
反过来，若信号的频谱是冲激函数，
1
看它的反变换。
若 F(w) d (w) 求f(t)
0
w
代入定义式可知其傅里叶变换为： f (t) 1
2
也就是说：直流信号的频谱是冲激函数。
f (t)
1
直流信号 f(t)=E
2
其傅里叶变换为：
F() 2 Ed (),
F() 2 Ed ()
f (t) 1 F ()e jtd
2
1 F () e d j[t ()]
2
1
F () cos[ t ()]d
2
j
F () sin[ t ()]d
2
f (t) 1
F () cos[ t ()]d
2
1
F() cos[ t ()]d
0
F () d
0 cos[ t ()]
() 0
0
t
f
(t)
E
u
t
2
u
t
2
E
F ()
E
Sa
2
t
/ 2 0 / 2
的极限而求得
2
0 2
f (t)
E
0
t
d (w)
(2E)
0
w
二、冲激偶的傅里叶变换
FT[d (t)] j
dn dt n
[d
(t)]
(
j)n
tn
2
(
j)n
dn
dn
[d
()]
三、阶跃函数的傅里叶变换
u(t) 1 1 sgn(t) 22
FT[u(t)] d () 1 j
F()
0
3.7傅里叶变换的性质（1）
对称性 线性（叠加性） 奇偶虚实性 时移特性
1.对称特性
若已知 f (t) F ()
则：F (t)
2
f
()或
1
2
F (t)
f
()
f (t)为偶函数则有 F (t) 2 f ()
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1
j)
e(a
j )t
0
a
1
j
a
1
j
2a
a2 2
F () f (t)e jtdt
0 eate jt dt eate jt dt
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1
j)
e(a
j )t
0
1
a j
a
1
j
a2
j2 2
F () F () e j()
2 , f 1 , B f 1
2
（4）符号函数
sgn(t)
1 (t 0) f (t) sgn(t) 0 (t 0)
实奇函数 1 (t 0)
1
0
t
1
符号函数信号不满足绝对可积条件，但它却存在 傅里叶变换。可以利用它和奇双边指数的关系:
f
(t
)
sgn(t
)
lim
a0
eat ea
d (t)
f(t)= d(t)
(1)
代入定义式可知其傅里叶变换为：
F () 1,
F () 1 () 0
0
t
F ()
1
0
单位冲激函数的频谱等于常数，即：在整个频率范围内 频谱是均匀分布的。
在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有 频率分量。称此频谱为“均匀谱”或“白色谱”。
（2）冲激函数的傅里叶反变换
t
t 0 t0
F ()
2 j a2
2
先求出奇双边指数函数的频谱函数，再取极限， 从而求得符号函数的频谱。
其傅里叶变换为：
F
(
)
2
F () 2 , j
纯虚奇函数
(
)
22,
,
0 0
F()
( )
2
0
0
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2
3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
一、冲激函数的傅里叶变换
（1）冲激函数的傅里叶正变换