立体几何-高考数学二轮复习精品资料(直接可用)

一．考场传真
1.【2012年北京卷数学（理）】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125
2.【2013年全国卷新课标Ⅱ数学（理）】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄l ,l β⊄则（ ）
A.α∥β且l ∥α
B.α⊥β且l ⊥β
C.α与β相交，且交线垂直于l
D.α与β相交，且交线平行于l
3.【2013年全国卷新课标I 数学（理）】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，
容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水
深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.500π3cm 3
B.866π3cm 3
C.1372π3cm 3
D.2048π3
cm 3 4.【2012年陕西卷数学（理）】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，
12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）
A.55
B.53
C.255
D.35
5. 【2012年辽宁卷数学（理）】已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都
在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面
ABC 的距离为_______.
6.【2013年山东卷数学（理）】如图所示，在三棱锥PAQ ∆中，PB ⊥平面
ABQ ，BA BQ BP ==，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .
（Ⅰ）求证：//AB GH ；
（Ⅱ）求二面角D GH E --的余弦值.
7. 【2012年福建卷数学（理）】如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，
11==AD AA ，E 为CD 中点。

（Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；
（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，
求AP 的长；若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长.
8. 【2013年北京卷数学（理）】如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB =3，BC =5.
（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1
BD BC 的值. 9. 【2012年湖北卷数学（理）】如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD
⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠
BDC=90°（如图2所示）
（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A-BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小.
一．基础知识整合
1.三视图：
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何
体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓
线．画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，
俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”．
(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．
(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.
2.体积与表面积公式：
(1)柱体的体积公式：V=
柱
Sh；
锥体的体积公式：V=
锥1
3 Sh；
台体的体积公式：V=
棱台1
()
3
h S SS S
''
++；
球体的体积公式：V=
球
3
4
3
r π。

3.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质（以下内容建议印发给学生，由学生对照回顾）（1）异面直线
判定：反证法
（2）直线与直线平行
判定：①平几方法：
②公理4：
③线面平行的性质：
④面面平行的性质：
（3）直线与直线垂直
判定：①线面垂直⇒线线垂直。

②直接求角：用勾股定理。

③平几方法：
（4）直线与平面平行
判定：①（定义）反证法
②判定定理：
③平面与平面平行的性质：
性质：①若一条直线平行于一个平面，则直线与平面无公共点。

②性质定理：
（5）直线与平面垂直
判定：①定义
②判定定理：
③两条平行线中的一条垂直一个平面，那么另一条也垂直这个平面．
④面面垂直的性质定理：
⑤P73第5题：
⑥一条直线垂直两个平行平面中的一个，那么也垂直另一个．
性质：①
②性质定理：
（6）平面与平面平行
判定：①定义
②判定定理：
③推论：
性质：①两平面平行，则这两个平面无公共点。

②性质定理：
（7）平面与平面垂直
判定：①定义
②判定定理：
性质：①两平面垂直，则这两个平面所成的二面角为直二面角。

②性质定理：
③课本P72思考.
4.空间的角与距离
（1）异面直线的夹角
①过其中一条上的一点作另一条的平行线。

②过空间一点作这两条异面直线的平行线。

③向量求法。

（2）斜线与平面所成的角
①作出斜线在平面内的射影，求斜线AB与其射影AC所成的角。

②求出斜线上的一点B到平面α的距离d（常用等积法），则sin
d
AB θ=。

③向量求法：设直线AB与平面α所成的角为θ,平面α的法向量为n,则
sinθ=
|| |||| AB n AB n
⋅
⋅
（3）二面角
①在棱上适当取一点，分别在两面内作棱的垂线。

②如图，第一步：在β内选一点P，过点P作PQ⊥α，垂足为Q；
第二步：在α内过Q作QR⊥a，垂足为R；
第三步：连结PR；
第四步: 在ΔPQR内，求∠PRQ．
③向量求法（有两种方法）。

（4）点到直线的距离
①直接作直线的垂线。

②求点P到平面α内的直线a的距离：
（5）点到平面的距离
①直接作平面的垂线
②要作垂线，先作垂面
③体积法（等积法）
④向量求法：设B 为平面α外一点，A 为平面α内一点，平面α的法向量为n ,则点B 到平面α的距离为：||||
AB n d n ⋅=。

二．高频考点突破
考点1 ： 三视图与直观图
【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2
cm .
【举一反三】【2012年高考（湖北理）】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A ．8π3
B ．3π B ．
C ．10π3
D ．6π 考点2 ： 球体
【例2】.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第
一次四校联考理】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，
SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥,SC OB ⊥，OAB ∆为等边三角形，三棱
锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A. 3 B.1 C.2 D.4
【举一反三】【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()
A.163 π
B.193 π
C.1912 π
D.43
π
考点3 ：纯线面位置关系的判定
【例3】【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )
A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥
B.若//,a b b α⊂,则//a α
C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b
D.若
,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα
【举一反三】【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测
试理】设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列
四个命题：
① 若αβαβ⊥⊥⊂m m 则,,；② 若βαβα//,,//m m 则⊂；
③ 若βαβα⊥⊥⊥⊥m m n n 则,,,；④ 若//,//,//m m αβαβ
则其中正确命题的序号是（ ）
A. ①③
B. ①②
C. ③④
D. ②③
考点4 ：几何体中的线、面位置关系
【例4】[2011·江苏卷] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，
AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．
求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；
(2)平面BEF ⊥平面P AD .
【例5】【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知四棱锥
P ABCD -中，底面ABCD 为菱形, 且PD ABCD ⊥底面60DAB ︒∠=，E
为AB 的中点．证明：DC PDE ⊥平面．
【举一反三】1、【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三
第一次四校联考理】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，
PA ABCD ⊥底面，AB AD ⊥，AC CD ⊥，PA AB BC AC ===，E 是PC 的中点．求证：PD ABE ⊥平面.
【举一反三】2、【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】如图4，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，
//AB CD ,ADC ∠=︒90，1AB AD PD ===,2CD =．
(1) 求证：//BE 平面PAD ；
(2) 求证：平面PBC ⊥平面PBD ．
【举一反三】3、【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2AB =，1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．
（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；
（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．
考点5： 空间的角与距离
【例6】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，
PA=3，∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.
（Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ；
（Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与面APC 所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG
GC 的值.
【例7】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】
如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，2AD =
，13AA =，E 为CD
上一点，1DE =，3EC =
（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （2）求点1B 到平面11EA C 的距离.
如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC
交 AC 于点 M ，EA ⊥平面ABC ，FC//EA ，AC ＝4，EA ＝3，
FC ＝1．
（I ）证明：EM ⊥BF ；
（II ）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
【例9】【2012年高考上海卷理科19】如图，在四棱锥ABCD
P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，
已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：
（1）三角形PCD 的面积；
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.
【举一反三】1、【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.
(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;
(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;
(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.
【举一反三】2、【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试文科】（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD ADEF ABGF 、、均为全等的直角梯形，且
//BC AD ，2AB AD BC ==.
（Ⅰ）求证：//CE 平面ABGF ；
（Ⅱ）设1BC =，求点B 到平面CEG 的距离.
考点6： 空间向量的应用
在12年，13年的高考解答题中，所有计算问题都适合建坐标系用向量
解决（13年仅安徽卷，12年仅江苏、陕西卷不用建系），这也与大纲要求
相吻合。

在大纲要求中，只是在向量的应用中要求掌握用向量方法解决线
线、线面、面面的夹角的计算问题，并没有要求掌握用传统方法解决计算问题。

在后期的复习中，一定要强化向量方法在立体几何中的应用。

【例10】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2AD AA AB ===,点E 在棱AB 上移动.
（Ⅰ）证明:11D E A D ⊥;
（Ⅱ）当E 为AB 的中点时,求点E 到面1ACD 的距离;
（Ⅲ）AE 等于何值时,二面角1D EC D --的大小为4
π. 【例11】【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】如图，四棱锥P —ABCD
中，PAB ∆为边长为2的正三角形，底面ABCD 为菱形，且平面P AB ⊥平面
ABCD ，AB PC ⊥，E 为PD 点上一点，满足ED PE 2
1=
(1)证明：平面ACE ⊥平面ABCD ；
(2)求直线PD 与平面ACE 所成角正弦值的大小．
【例12】【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】如图，
AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 交
AC 于点 M ，EA ⊥平面ABC ，FC//EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1．
（I ）证明：EM ⊥BF ；
（II ）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
【举一反三】1、【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试理】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点。

（1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ；
（3）在（2）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，求二面角M BQ C --的大小。

【举一反三】2、【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG .且AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1.
(1)求证：BF ∥平面ACGD ； (2)求二面角D -CG -F 的余弦值．
【举一反三】3、【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】如图，
在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=,
平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 中点，M 是棱PC 上的点，
12,1,32
PD PA BC AD CD =====． （1）若点M 是棱PC 的中点，求证：//PA 平面BMQ ；
（2）求证：平面PQB ⊥底面PAD ；
（3）若二面角M-BQ-C 为0
30，设PM=tMC ，试确定t 的值． 考点6 ：翻折问题
【例13】【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】（本小题满分
10分）如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图（2））．
（Ⅰ）求证：PB DE ⊥；
（Ⅱ）若PE BE ⊥，直线PD 与平面PBC 所成的角为0
30，求PE 长．
【例14】【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点A '，连接EF ，A B '．
（1）求证：A D EF '⊥；
（2）求二面角A EF D '--的余弦值．
【举一反三】【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】在边长为4cm 的
正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现
沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为B ,构成一个三棱锥．
（1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明；
（2）证明AB ⊥平面BEF ；
（3）求二面角M EF B --的余弦值．
三．错混辨析
1. 概念不清，做题时想当然导致出错.这是一些中差生最常犯的错.
【例1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4cm,3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为cm 3.
【例2】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点.若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角A PB C --的余弦值.
【例3】四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面
SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，
22BC =，3SA SB ==．求直线SD 与平面SBC 所
成角的余弦值.
2. 考纲要求学生要有一定的空间想象力，能根据图形想
象出直观形象。

学生往往由于空间感太差，考虑问题不
全面，忽视一些细节之处，把图形想错。

【例4】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )
A ．64
B ．72
C ．80
D ．112
【例5】已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则
下列命题中正确的是( )．
A ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α
B ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n
C ．m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α
D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β
3.推理不严密，逻辑思维混乱导致出错
【例6】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上
的点.如图，求证：
PAC PBC 平面平面⊥.
1.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是。

2.如图，正四棱柱1111D C B A -ABCD 中，421==AB AA ,点E 在上且
EC E C 31=.(Ⅰ)证明：⊥C A 1平面BED ;(Ⅱ)设M 、N 分别是1AA 、AD 的
中点，过MN 且与平面1A DE 平行的平面交AC 于F ，求线段AF 的长.
.
3.在棱长为a 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点. (Ⅰ)求证：1FC 平面1ECB ；(Ⅱ)求平面EB 1C 与平面AB B 1A 1所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求点B 到平面EB 1C 的距离.。