材料力学课件：梁的弯曲应力

2纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且 各 纵向纤维之间无挤压。
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
推理：
Fs
（1）横截面上没有切应力
（2）横截面上有正应力
切应力τ
M
3、假设：
切应力τ 正应力σ
1弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变 形后 仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横 截 面绕其上的某轴转动了一个角度。
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
1 M
EIZ
——弯曲变形计算的基本公式
将上式代入式 ( E Ey ) 得：
My
Iz
弯曲正应力计算公式
M Z
y zAσ x
y
弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。
当M > 0时，上压下拉；
当M < 0时，上拉下压。
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
92.55106 Pa 92.55MPa
M ql2 / 8 67.5kN m 22
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
例题
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
120
4. 全梁最大正应力
180
B
xK
30 最大弯矩
z M max 67.5kNm
M
67.5kNm
解：1. 求支反力
FAy 90kN FBy 90kN
MC 60kN m
x
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105 m4
90kN 2. C 截面上K点正应力
x
K
M C yK IZ
60103 (180 30) 103
2
5.832105
61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）21
M Z
y dA x zσ
(1)
FNx
dA 0
A
E ydA E
A
y
A
ydA
ES
z
Sz 0
（中性轴为形心轴）
(2)
My
zdA
A
0
E
A yzdA
E（I yyz轴为对称轴，I y自z 然0满足）
(3)
M z
y dA M E
A
y 2 dA
A
EI
z
E
Iz M
1 M
EIZ
——弯曲变形计算的基本公式
t
t max
Mymax Iz
c
c max
Mymax Iz
20
例题
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
q=60kN/m
120
1.C 截面上K点正应力
A
1m
FAY
C
l = 3m
180
B
K
x
30 2.C 截面上最大正应力
z 3.全梁上最大正应力
FBY
y
4.已知E=200GPa， C 截面的中性层曲率半径ρ
FS 90kN
FBY
y
Iz 5.832105 m4
x
x 90kN
max
M max ymax IZ
67.5103 180 103
2
5.832 105
104.17106 Pa 104.17MPa
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
在弹性范围内， E
Ｏ
E Ey ...... (2)
A１
y
d
Ｏ１
Ｂ１ x y 14
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
应力的分布图：
E Ey
M
z M
σmax
中性轴
x
Z
y
σmax
y
中性轴的位置？
中 性 层 的 曲 率1 ？
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
（三）静力学条件： 由横截面上的弯矩和正应 力关系→正应力计算公式
三、正应力公式的推广
工程中常见的平面弯曲是横力弯曲
实验和弹性力学理论的研究都表明：
当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5
（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于
横力弯曲近似成立。
q
弯曲正应力公式 My
IZ
A
B 可推广应用于横力弯曲
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
最大正应力的确定
z
纵向对称轴
中间层与横截面的交线－－
Z
中性轴
y 13
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
4、线（正）应变的变化规律：
ac
A1 B1 AB A1B1 OO1
AB
OO 1
( y)d d y
d
y
...... (1)
（二）物理条件：由纵向线应变的
bd
a
o
co1
AＢ
b
d
dx
变化规律→正应力的分布规律。
2纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且 各 纵向纤维之间无挤压。
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
凹入一侧纤维缩短
推理：（3）
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧 的纵向线缩短区到其凸， 出一侧的纵向线伸长区 中间必有一层纵向无长 度改变的过渡层-------称为中性层 。
突出一侧纤维伸长
b
度且仍与纵向线正交。
d
⑵ 纵向线：
M
ac
M
由直线变为曲线，
靠近上部的线段缩短，
靠近下部的线段伸长。
b
d
任意两条纵向线的间距不变
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
推理：
M
ac
M
（1）横截面上没有切应力
（2）横截面上有正应力
3、假设：
b
d
1弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变 形后 仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横 截 面绕其上的某轴转动了一个角度。
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
例题
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
3. C 截面最大正应力
120
B
C 截面弯矩
180
xK
30
z MC 60kNm
FBY
y
IZ 5.832105 m4
FS 90kN
x
90kN
x
Cmax
MC ymax IZ
60103 180 103
2
5.832 105
弯曲梁横截面上的应力
§4.6 梁横截面的正应力 §4.7 梁横截面的切应力 §4.8 梁的强度计算 §4.9 提高梁抗弯强度的主要途径
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
一、纯弯曲和横力弯曲的概念 F
a
１.纯弯曲
A
梁的横截面上只有弯矩
而无剪力的弯曲。
Fs
F
2.横力弯曲
梁的横截面上既有弯矩
又有剪力的弯曲。
M Fa
F a
B
Fx x
8
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何条件： 由纯弯曲梁的变形规律→纵向线应变的变化规律。
1、观察变形：
F
F
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
2、变形规律：
a
⑴ 动了一个角
h y
b
My
IZ
max
Mymax IZ
d
z
矩形截面
IZ
bh3 12
bh2 WZ 6
圆截面
IZ
d 4
64
d 3
WZ 32
y
⑴ 截面关于中性轴对称
t max
max c
M Wz
WZ
IZ ymax
Wz ——抗弯截面模量
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§ 4 . 6 梁横截面的正应力
⑵ 截面关于中性轴不对称
最大拉应力和最大压应力不相等，分别计算