【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)双曲线教学案

双_曲_线

[知识能否忆起]

1．双曲线的定义

平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

2．双曲线的标准方程和几何性质

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)若双曲线方程为x 2

－2y 2

＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－

22，0 B.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－52，0

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－

62，0

D.()－3，0

解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2

－y 2

12＝1，

∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2

＝32，c ＝62.

∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－

62，0. 2．(教材习题改编)若双曲线x 2a

2－y 2

＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )

A.25

5

B.32

C.23

3

D ．2

解析：选C 依题意得a 2

＋1＝4，a 2

＝3， 故e ＝

2a

2

＝23＝23

3

. 3．设F 1，F 2是双曲线x 2

－y 2

24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，

则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48

解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12³6³8

＝24.

4．双曲线x 2a

2－y 2

＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为

________________．

解析：由题意知a 2＋1

a ＝

1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a 2

＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3

x ±y ＝0，即y ＝±3x .

答案：y ＝±3x

5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |²e ＝________.

解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支，

∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝4

3

.

∴|k |²e ＝43³54＝5

3.

答案：53

1.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2

＝b 2

＋c 2

，而在双曲线中c 2

＝a 2

＋

b 2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)．

2．渐近线与离心率：

x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，

b >0)的一条渐近线的斜率为b

a ＝

b 2

a 2＝ c 2－a 2a

2

＝e 2

－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．

[注意] 当a >b >0时，双曲线的离心率满足10时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)； 当b >a >0时，e > 2.

3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．

典题导入

[例1] (1)(2012²湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的

渐近线上，则C 的方程为( )

A.x 220－y 2

5

＝1 B.x 25－y 2

20＝1 C.

x 2

80－y 2

20

＝1

D.

x 220－y 2

80

＝1 (2)(2012²辽宁高考)已知双曲线x 2

－y 2

＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．

[自主解答] (1)∵x 2a 2－y 2

b

2＝1的焦距为10，

∴c ＝5＝a 2

＋b 2

.①

又双曲线渐近线方程为y ＝±b a

x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2b

a

＝1，即a ＝2b .②

由①②解得a ＝25，b ＝ 5.

(2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2， 所以(22)2

＝|PF 1|2

＋|PF 2|2

，

又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2

＝4，可得2|PF 1|²|PF 2|＝4， 则(|PF 1|＋|PF 2|)2

＝|PF 1|2

＋|PF 2|2

＋2|PF 1|²|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3

由题悟法

1．应用双曲线的定义需注意的问题

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．

2．双曲线方程的求法

(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2

＋ny 2

＝1(mn <0)．

(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2

b

2＝λ(λ≠0)．

(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2

－n 2y 2

＝λ(λ≠0)．

以题试法

1．(2012²大连模拟)设P 是双曲线x 216－y 2

20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦

点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( )

A ．1

B ．17

C ．1或17

D ．以上答案均不对

解析：选B 由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2＞1，∴|PF 2|＝17.