专题五 利用导数研究函数的极值、最值 (含答案)

课下层级训练(十七) 利用导数研究函数的极值、最值

[A 级 基础强化训练]

1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －

x

D ．y ＝x ＋2

x

【答案】D [由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．]

2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e

D ．0

【答案】B [因为f ′(x )＝1

x －1＝1－x x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调

递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.]

3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件

D ．4百万件

【答案】C [y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当00；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大．]

4．(2019·河南南阳月考)已知函数f (x )＝13x 3－1

2ax 2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫12，3上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．⎝⎛⎭

⎫2，5

2 D ．⎝

⎛⎭⎫2，10

3 【答案】C [函数f (x )＝13x 3－1

2

ax 2＋x ，求导f ′(x )＝x 2－ax ＋1，由f (x )在⎝⎛⎭⎫12，3上既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内应有两个不同实数根.⎩⎪⎨⎪⎧

f ′⎝⎛⎭⎫12＞0，

f ′3＞0，

12＜1a ＜3，

f ′⎝⎛⎭

⎫1a ＜0解得2＜a ＜5

2

，实数a 的取值范围⎝⎛⎭⎫2，52.] 5．(2019·福建漳州月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在极大值0，则a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．e

D ．1e

【答案】D [∵f ′(x )＝1x －a ，x ＞0，当a ≤0时，f ′(x )＝1

x －a ＞0恒成立，函数f (x )单调递增，不存在最大值；

当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ＞1

a 时，f ′(x )＜0，

函数单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1

e

.] 6．(2018·山东临沂期中)若函数f (x )＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，则实数m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

【答案】C [∵函数f (x )＝x 3－mx 2＋4，∴f ′(x )＝3x 2－2mx ，3x 2－2mx ＝0解得x ＝0或x ＝2

3m ，可知x ＝0或

x ＝2

3m 是函数的两个极值点，函数f (x )＝x 3－mx 2＋4恰有两个零点，可知一个极值为0，因为f (0)＝4＞0，所以x ＝23m 是函数的极小值点，f (0)是函数的极大值．可得：2

3m ＞0，并且f ⎝⎛⎭⎫23m 是函数的极小值点，并且为0，f ⎝⎛⎭⎫23m ＝⎝⎛⎭⎫23m 3－m ·⎝⎛⎭

⎫23m 2＋4＝0，解得m ＝3.] 7．(2019·河北三市联考)若函数f (x )＝1

3x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3，1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －4

3

B ．32b －23

C ．0

D ．b 2－1

6

b 3

【答案】A [f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)， ∵函数f (x )在区间[－3，1]上不是单调函数，

∴－30，得x 2，由f ′(x )<0，得b

3.]

8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值为________. 【答案】－4 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.

f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.]

9．(2019·山东省实验中学诊断)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ，⎝⎛⎭⎫a ＞1

2，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________.

【答案】1 [由于当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，且函数y ＝f (x )是奇函数，所以当x ∈(0，2)时，f (x )