代数式与恒等变形

第5讲 爹代数式与恒等变形

在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．

恒等式证明的一般方法：

1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．

2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．

3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边

左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，

本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，

题1 求证 ：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n

对同底数幂进行合并整理，

解 方法一：

左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++

)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n

11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n

)235(1011-+-+=n n n

=右边，

方法二：

左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n

.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+

右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n

.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+

故 左边=右边．

方法一中受右边

”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、

+与12-n 为主元合并，迅速便捷．

读一题，练3题，练就解题高手 1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++

1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+

.13222.3222=++-+++

题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(2

1321+=

++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题： ？

=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：

);210321(3

121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3

132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3

143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得

.205433

1433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：

=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(

=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n

)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =

（只写出结果，不必写出中间的过程） 分析此题可得到如下信息：

⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(3

1101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([3

1)1()2()];1 解 321(3

110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;3434001021011003

1)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知

).2)(1(3

1)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(4

1321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯

),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ …… )]2)(1()1()3)(2)(1([4

1)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n

).3)(2)(1(4

1+++=n n n n 在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 3

21211 1

1321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+= 读一题，练3题，练就解题高手

2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数x

k y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是

2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,4

1 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,20

15141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O

请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*

+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．

2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N

).)(2008322009a a a a +++

试比较M 与N 的大小．

题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)

(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α 本题可设,)

(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解． 解 设,)

(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+