第五章 应力张量 应变张量与应力应变关系

x
y
z
作斜面abc 垂直于 x 轴，作用于该微面上的应力 矢量为 T 。用旧系下沿坐标轴的三个分量 T 、T 1 2 和 T3 ，及Cauchy公式（（2-4）式）可将 表为

T T1e1 T2 e 2 T3 e 3 Ti e i ij n j e i
在新系下， T 沿坐标轴的三个分量即为新系下该
x xr xr r x x 2 xr x r
§5-2
主应力
应力张量不变量
Cauchy公式（2-4）给出了过一点任意斜截面上
的应力矢量的计算关系，写成矢量的形式有 （5-4） 斜面上的应力矢量不仅与该点的应力状态有关，而 且与斜面的方向有关。
( 3)
如果 1 2 3
则
ν (1) ν (2) 0
ν
ν
(2)
(3)
ν
ν
(3)
(1)
0
0
这表明，三个主方向是相互正交的。 如果 1 2 3 则
表明 3 的方向同时与 1和 2 方向垂直；
ν (2) ν (3) 0 ν (3) ν (1) 0
j j 为点o处坐标曲线切线方向单位基矢量在旧
'
系下的方向余弦。 取
y
x
r 方向
方向
r ri rj ij
rx rx x ry ry y rx ry xy ry rx yx
x cos 2 y sin 2 2 sin cos xy
在给定载荷作用下，物体内过一点的任意斜截
面上应力的大小和方向都是确定的，即一点的应力 状态是确定的。它不随所取坐标系而变化。但描述 一点应力状态的应力分量又是在确定的坐标系下确 定的，它随坐标系的不同而不同。
我们通常习惯的右手坐标系， 下面首先考察旋转变换的情形: 考察物体内任一点o。设oxyz为旧坐标系下o点处 的局部标架（图5-1（a）），单位基矢量为
( 1 )( 2 )( 3 ) 0
展开后有 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 1 2 3 0 与式（5-7）比较，得 I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 3 1 I 3 1 2 3 对于一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向 都是确定的，它不随坐标系的变换而变化，故
（2）～（4）式可以统一写为
ij ii jj ij
（5-1）
这就是应力转轴公式，式中 转换系数。
i i 或 j j称为
'
'
在数学上，将坐标变换符合式（5-1）的一组 量称为二阶张量。按此定义，决定一点应力 状态的九个应力分量就是一个二阶张量，称
为应力张量。
在式（5-1）中作指标臵换，并利用
xz yz z
0 （5-7）
展开后得到关于主应力的三次代数方程（5-7）， 称为应力张量的特征方程：
I1 I 2 I 3 0
3 2
I1 x y z 2 2 2 I 2 x y y z z x xy yz zx
m1 1 2 sin
l2 21 m2 22 sin cos
与前面推导类似
ij ii jj ij
指标的取值为 i, j 1, 2
i , j 1, 2
当取新系为正交曲线坐标系，其中转换系数 i 'i
面上的三个应力分量


T
将 T 向 x 、 y 和 z 轴方向投影，并注意到这里
xy 和 xz。 x 、
n j 1 j 及剪应力互等关系 ij ji
得
x T e1 ij n j e i e1 1i1 j ij xy T e 2 ij n j e i e 2 2i1 j ij 2 j1i ji 1i 2 j ij xz T e 3 ij n j e i e 3 3i1 j ij 3 j1i ji 1i 3 j ij
说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是说，任何方向都是主方向。
（3）主应力的极值性 命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任 意截面上正应力的最大（或最小）值。
§5-3
最大剪应力
现在我们来考察物体内一点P的最大剪应力及其
作用面。取应力主轴为参考轴（图5-4）。斜面
上应力矢量
T 的分量及斜面上的正应力分别为： T1 1l T2 2 m T3 3 n 2 2 2 1l 2 m 3 n

x yx
xy y
xy y zy

y zy
yz z

x zx
xz z
2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy
x yx zx
xz yz z

三个式子合起来，可简写为：
1 j 1i jj ij
（2）
同理，取微斜面abc分别垂直于 y 、 z ，可以得
到新系下的其余六个应力分量与旧系下九个应力 分量间的类似关系：
2 j 2i jj ij
（3） （4）
3 j 3i jj ij

z

1
y
2
x
3
图5-4
将（1）、（2）式代入斜面上的剪应力公式（2-7） 得
| T | 2 2
2

（ 3）
2 2 2 2 12 l 2 2 m 3 n ( 1l 2 2 m 2 3 n 2 )
（5-6）
我们把只有正应力，而没有剪应力的平面称为
主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平
面的法线方向，即主应力方向称为主方向。 代数上，（5-6）式是关于主方向 (l , m, n)
的线性齐次代数方程，它有非零解的条件是，
其系数行列式为零，即
x yx zx
xy y zy
( ij ij )n j 0
整理合并后得
z

T
y x 图5-3

将上式展开
( x )l xy m xz n 0 yx l ( y )m yz n 0 zx l zy m ( z )n 0
e1、e 2、e 3 ，相应的应力分量为:
x ij yx zx
xy y zy
yz z
xz
设 ox y z 为新坐标系下o点处的局部标架，单位 基矢量为 e1 、e ，相应的应力分量: 2、e 3
ij
x cos 2 y sin 2 xy sin 2
同理
ij ij
r ri j ij ( y x ) sin cos xy (cos2 sin 2 )
x sin 2 y cos 2 xy sin 2
ij 的对
称性得
ji ji ij ij ij ji ji
ii jj ij ij
应力张量在经坐标变换后，其对称性仍然保持不变。 在平面问题中，建立二维的新、旧坐标系如图5-2， 新、旧坐标轴的方向余弦为
x
y
x
y
l1 1 1 cos
而 ν (1) ν (2) 可为零，也可以不等于零，即
1 和 2 的方向可取与 ν (3) 垂直平面上的任 意方向。即与 ν (3)垂直的方向都是主方向。
如果 1 2 3 ，则 ν
(1)
ν
(2)
ν 、
(2)
ν
(3)
、
ν (3) ν (1)三者可以是零，也可以不是零，这
r r
这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力 分量的转换公式。
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反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系
旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量
表示直角坐标应力分量的关系为：
cos 2 r sin 2 2 sin cos r y yr yr r y y 2 yr y r 2 2 sin r cos 2 sin cos r xy xr yr r x a y xr y r x yr r cos sin r ( sin ) cos cos 2 r ( sin ) sin r 2 2 sin cos ( r ) (cos sin ) r
I 1、I 2、I 3 也不会因坐标系的变换而改变。这种不
因坐标系变换而改变的量，称为不变量.
I 1、I 2、I 3 分别称为应力张量的第一、第二、
第三不变量。 主应力的几个重要性质： （1）主应力为实数 （2）主方向的正交性 设与主应力 1、 2、 3 对应的主方向为
ν
(1)
、ν
(2)
、ν
可以证明方程（5-7）有3个实根，它们对应
该点的3个主应力，分别用 1、 2、 3表示。
l m n 1
2 2 2
（5-9）
将（5-9）式与方程组（5-6）中的任意两式联
立，即可求出与给定主应力 i 对应的主方向。
1、 2、 3 是方程（5-7）的三个根，所
以，也可以将特征方程写成


T Ti e i ij n j e i
T
为该截面的正应力 ( ) ，而剪应力为零。
这个问题的数学描述是，求某个法线方向
ν (l , m, n) ，使满足方程：
T ν
ij n j e i ni e i
故

（5-5）
将（5-4）式代入（5-5）式得：
ij n j ni
x yx zx
xy y zy
yz z
xz
新、旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为
x y z
l1 1 1 m1 1 2 n1 1 3 l 2 21 m2 22 n2 23 l3 31 m3 32 n3 33
第五章 应力张量
应变张量
与应力-应变关系
本章拟进一步讨论应力、应变的性质及线性弹 性应力与应变关系的一般规律，它将有助于对问题
的深入认识。
§5-1 应力分量的坐标变换
应力张量
§5-2 主应力
应力张量不变量
§5-3 最大剪应力 §5-4 笛卡尔张量基础 §5-5 物体内无限邻近两点位置的变化 转动张量 §5-6 应变的坐标变换 应变张量
§5-7 主应变 应变张量不变量
§5-8 广义Hooke定律的一般形式
§5-9 弹性体变形过程中的能量
§5-10 应变能和应变余能
§5-11 各向异性弹性体的应力-应变关系 §5-12 各向同性弹性体应力-应变关系 §5-13 各向同性弹性体各弹性常数间的 关系
§5-1 应力分量的坐标变换
应力张量