最新切线长定理(共33张PPT)课件PPT

内切圆的半径
r＝
a＋b－c
2
或r＝
ab
a＋b＋c
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
C E
C E
D
D
F
A
·O
B
A
O
B
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP CA
内切圆O分别与边AB、BC、CA相切
于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求⊙O的半径r.
A
D
F O
B
EC
思考
三角形的内切圆的有关计算
如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,
求△ABC的面积S.
A
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， D
OD
P
B
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
练习.如图，△ABC中,∠C =90º,它的
切线长定理
从圆外一点引
A
圆的两条切线，
它们的切线长
相等。
O
P
几何语言: B PA = PB
PA、PB分别切⊙O于A、B ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法
试一试
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明. B
OP垂直平分AB
OM
PA=PB
A
E
O
∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
Q
∴周长为24cm
P
B
F
变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A
D
P
·O
E
C B
例题2
例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有相等的线段
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
例题1
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交
PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的
周长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
D O·
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
C
E
B
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
探究：PA、PB是⊙O的两条切
A
线，A、B为切点，直线OP交于
⊙O于点D、E，交AB于C。 E O C D
P
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
求证： AD+BC=AB+CD 证明：由切线长定理得
C N
∴AL=AP，LB=MB,NC=MCD，
DN=DP
M O
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
过圆外一点可以引圆的几条切线？
A
O。
P
B
尺规作图：
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
OO ·
P
B
比一比
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长。
A
O
·
P
B
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联 系呢？ 切线:不可以度量。切线长：可以度量。
A
1
O
2
P
B
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
B
CA=CB
。
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
证一证
请证明你所发现的结论。 B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理(共33张PPT)
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切 点的半径
几何应用:
∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L
.O
L A
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥l于A
.O
L A
l是⊙O的切线.
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
变式
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝
a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：
Rt△ABC的内切圆的半径 r.
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
F
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
O·
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B
＝
1 2
AB·OD＋
1 2
BC·OE＋
1 2
AC·OF
＝
1 2
l·r
C E
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，