固体物理第8课一维双原子链讲义

直。 可见晶体边长是格波的l倍，这里采用了波恩-卡门周期 性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
作业： 1. P83页 3.4(1)(2) 2. 试根据声学波计算公式，当q0时，
u1

1
q

2 a 常数
mM
rj ) U0
K ( ri
rj

ri
0
rj0 )2 / 2
一对原子产间的净相互作用力，正比于原子间距一对 理想晶格格点之间的偏移：
Fij
K ( ri
rj

ri
0
rj0 )
三维晶格振动系统中每个原子的波函数为：
ua (l, m)
cos(2qa) cos(2qa)
1 2 1 2

12

22


mM

mM
m

m

M M
m2 m2

M2 M2
2mM 2mM
cos(2qa) cos(2qa)
1 2 1 2
两
种
色
散
关
系12
设晶体中有N个原胞
x1 x2 N 1 Aei(tqa) Aei[tq(2 N 1)a] ei2qNa 1
2qNa 2 l(l Z ) q l
Na
q N l N
2a
2a
2
2
l只能取N个不同的整数
q只 能 取N个 不 同 的 分 立 值 ， 即 ：
3n 3:声 3(n-1):光
(1)晶格振动的波矢数＝晶体中的原胞数 (2)晶格振动的模式数＝晶体中原子的自由度数 (3)晶格振动的格波支数＝晶体原胞的自由度数
自由度：描述物体的空间位置所需的独立坐标数 自由度=m×n×N
晶体的维数：m
原胞中的原子数：n
格波支数＝mn
m：声 m(n 1)：光
i 1

1 2
)
i
硅晶体的倒易原胞
硅晶体（FCC）的原胞中含两个原子，故n=2，倒易点 阵为体心立方，其维格纳-塞茨原胞（布喇菲原胞）6个 正方形的面中心对应于倒易点阵的6个<001>矢量，8个 正六边形的面对应于倒易空间的8个<111>矢量。
硅晶体晶格振动的色散（复式面心立方）
纵 光 学 波
TA(transvers e acoustical wave) TO(transvers e optical wave) LA(longitudin al acoustical wave ) LO(longitudin al optical wave)
3.
E

3nN
i
i 1
3nN
(ni
ω（q=0）=0。
根据玻恩卡门条件，三维晶体中的波矢：

k
3
(la / La )aa (l1 / L1)a1 (l2 / L2 )a2 (l3 / L3 )a3
a 1
la为整数，La为三个方向上的原胞 数。
当k变动时
j (k ) j (k Ghkl )
2
sin
2
(qa)

x，则：当q

0时，x

0，1
1 x 1 x 2
12

2
mM
sin 2 (qa)

2
mM
(qa)2

1

2 q a
mM
u1

1
q

2
mM
a 常数
长声学波可看成是在连续介 质中传播的弹性波。
2 m2 A 2 cos(qa)B
粗略计算NaCl中的纵波声速，其中a=2.81Ǻ， 32N/m，Na的原子的序数是23，Cl的原子序数是 35，质子的质量是1.67×10-27kg。

2
cos(qa)A
2

M 2
0 B
0
2
m12
A 2
cos(qa)B
0

A B
1

2 2
cos(qa)
m12

0



2a

q


2a

1max
2
M
当q

0时，1

0，
A B
1

1

x
2
n
1
x 2n2

A ei1t q( 2n 1)a Bei1tq(2n2)a
x 2 n 1

x 2n2
此时长声学波描述了原胞质心的运动,即晶体的平动.
长声学波除热激发外，还可以用超声波激发。 应用：超声波点焊机，集成电路。图
超声波点焊机
(2) 光学波
返回
4 三维晶格振动
aN1、1、aN2、2、aN3 3
b1、b2、b3
N N1N2 N3
n
1.
平q均Nh一11 b个1 q点Nh22占b2据
h3 N3
b3 ,
的体积
h1、h2、h3 ： 示意图

Z
b1 N1

b2 N2

b3 N3

1 N
*
1 N
2 3


2 3
V
q的
分
布
密
度
（
单
位
体
积中q点
的
数
目
）
：1
2
3

V
2
3
q被限制在第一布里渊区
V
k

2
nx
I
2
ny
J
2
nz
K
L
L
L
k空间 波矢空间 状态空间
2. 纵横波波光声光声学学学学波波波波

A B
Fra Baidu bibliotek
同一原胞内的两个原子以相反的位相、不同的 振幅振动，而原胞的质心保持不动。所以长光学波 描述了原胞中原子相对质心的运动。
返回
mx M (L x) x M L mM
m(x x2n1 ) M (L x x2n2 ) m(x A ) M (L x B )
A B


M m

m
A

M
B

mx M (L x) x M L mM
返回
光学波可用光波的电磁场激发，即称为光学波。
3. 晶格振动的一般结论*
一维单原子链 一维双原子链
N(1)
N(2)
波矢数
N
N
三维晶体 N(n) N
模式数
N
2N
3nN
格波支数
1(声)
2 1:声 1:光


2
cos(qa)A

2
M 2
B0

2 m 2 2 cos(qa)
0
2 cos(qa) 2 M 2
12



2
2


mM

mM
m

m

M M

m2 m2
M2 M2
2mM 2mM

Aei[t q(2n1)a] Be i[t q(2n2)a]
表示所有原子均以频 率ω振动，波矢为q。
m 2 A eiqa eiqa B 2A M 2B eiqa eiqa A 2B
2 m 2 A 2 cos(qa)B 0
1 Mm

uma (k ) exp(it
ik Rl )

一维单原子链 : xn Aei(tkna)
u
jk
(R0
(l,
m),
t)

em
( j,k ) Mm
exp( i
j
(k )t

ik

Rl
)
这个晶格振动的波动函数只 在分 立的格点R0处有值。 R0 (l, m) Rl rm
波矢的数目＝原胞的数目
N个原胞，2N个原子
3.2.3 声学波和光学波
(1)声学波
12


mM
m

M
m2

M2
2mM
cos(2qa)
1 2

1


mM
m

M
1

1


4mM
m M
2
sin
2
(
qa
)
2


令
4mM
m M
2 m 2 A 2 cos(qa)B


2
cos(qa)A
2
M 2
0 B
0

2
cos(qa)A
2
M22
B

0
A 2 M22 0 B 2 2 cos(qa)


2a
这个原子离开平衡位置的位移记作：



u(l, m) R(l, m) R0 (l, m)
晶格谐振理论
原子的平衡位置在对应的晶格格点上。
位移与原子间距比是小量，可以用简谐近似。
平衡位置由原子结合势决定，

两个原子之间的结合势可用对势函数U (ri rj ) 表示
U (ri
重合
纵 声 学 波
2支横声学波 2支横光学波 各自发生了简并
5.三维晶格振动模型
Nl：原胞数，na:原胞中原子数，Mm：原子质量 波的数学形式可以表示为波动函数 中晶的格第振m个动原模子型的可位以置看记作为是三R(维l, m的) 弹簧模型，第l个原胞
子其的此中中原心子Rl与的是原平原胞衡胞顶位顶点置点的记的距为格离矢R。量0 (l，, mr)m是R原l 胞rm内某个原
Ghkl为倒易空间中任意矢量
波矢k在FBZ中取值，共有NL种取值，等于原胞数。 总简正模式数是3naNL。
说明
晶格的振动是简谐波，其波长由q确定，而q又取决于 倒易矢量b，每个倒易矢量都与晶格点阵中的一族晶面
垂直，且代表这族晶面的面间距。
故q的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着格波波长 为 na/l，na代表了某方向的晶体的长度L，且格波与晶面垂
其中k为波矢量，即波传播的方向。在三维情况下， 每个允许的波长，都有两个横波和一个纵波。横波的速 度相同，纵波的速度大于横波，是由于纵向弹性系数大 于横向弹性系数。
上式中j,k是晶格平面波解的参数，其中j代表3na支具 有不同频率j(k)的晶格振动波。。
当波矢K在FBZ中取值时，每个K对应3na振动模式， 故格波分为3na支，每一支有自己的色散关系，它们分为 3na –3只光学支和3 只声学支，其中声学支的特点是在 FBZ的中心，谐振频率为零，即

q q
:声学波 : 光学波
设M m，则：
1min 1max
0
2
M

2min

2max
2
m
2 (m M )
mM
色散曲线
(q)为周期函数，周期为 倒易原胞长度
a
将q限制在－
2a
，

2a


第一布
里渊区
周期性边界条件
3.2 一维双原子链的振动(一维复式格子的振动) 3.2.1运动方程及色散关系

m

M
d 2 x2n1
dt 2
d 2 x2n2
dt 2
x2n2 x2n 2x2n1 x2n3 x2n1 2x2n2
设其试探解为：

x2
n1
x2n2

q


2a

2min
2
m
当q 0时 ，2
2 (m M )， A M
mM
B 2
m

x2n
1
x2n2

Ae i 2t q ( 2n 1) a Be i 2t q ( 2n 2) a

xx22nn12