数学建模电力安排问题

电力生产问题

摘要

本文解决的是电力生产中发电机的安排问题，在满足每日各时间段电力需求的条件下，安排各型号发电机来供电，以期获得最小的成本。为解决此问题，我们建立了两个最优化模型。

针对问题一：建立了非线性单目标最优化模型。从已知条件、目标函数、约束条件三方面进行综合分析可知，每天的总成本由总固定成本、总边际成本、总启动成本组成，确定总成本为目标函数，各时段各型号发电机工作数量及其总超出功率为主要变量，并列出相应约束条件。最后通过Lingo软件[2]求出最小成本为1540770元，并得出各时段各型号发电机的数量及其功率如下表（具体见表三）：

针对问题二：建立了线性单目标最优化模型。引入非负变量，即为各时段新增开的各型号的发电机台数，通过此变量线性表示出启动成本。以总成本为目标函数，在模型一的基础上，只需改变一个约束条件，即发电机组在任意时间段内所能发出的最大总功率的80%要大于等于该时段的用电需求。最后通过lingo软件求出最小成本为1885420元，并得出各时段各型号发电机的数量及其功率。

关键词：非线性最优化模型线性最优化模型最小生产成本

1 问题重述

1.1 问题背景

在电力生产过程中，为满足每日的电力需求并且使生产成本达到最小，因不同发电性能的发电机成本不同，故可以选用不同型号的发电机组合使用。

1.2 题目信息

题中给出了一天中七个时段的用电需求（见表一）及四种发电机的发电性能和相应成本（见表二）。其中，所有发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于其最小输出功率，且所有发电机均存在一个启动成本，以及工作于其最小功率状态时固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。

问题（1）：在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？

问题（2）：如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？

2 模型假设

假设1：不计发电机启动时所需时间；

假设2：各发电机均在24时关闭，即不考虑循环过程；

假设3：各发电机的输出功率在时段初调整好后，保持不变；

假设4：题目所列出的成本以外的成本消耗不计。

3 符号说明

4 问题分析

此题研究的是电力生产中合理安排不同类型发电机的数学建模问题。为满足电力需求，对于每日七个时段，需要对四种不同类型发电机进行合理安排。

针对问题一：从以下三方面来分析

（1）对已知条件的分析：七个时段分别对应不同的用电需求，四种不同类型发电机可供使用，且已知其可用数量、最小输出功率、最大输出功率、固定成本、每兆瓦边际成本、启用成本。要使总成本达到最小，则问题的目标函数就是总成本函数。

（2）对目标函数的分析：发电机总成本包括总固定成本、总边际成本、总启动

成本。该问题的关键在于如何求启动成本。

（3） 对约束条件的分析：四种型号发电机在第i 个时间段的发电总量应不小于

总需求量；型号j 发电机在任一时间段的数量不能超过可用数量；型号j 发电机在任一时间段的超出功率不超过最大功率与最小功率之差。 综合以上分析，我们将建立非线性单目标最优化模型。

针对问题二：为了使求解更简单，我们试图采用线性方法来解决该问题，对于启动成本的求解，将引入ij x V 表示第i 个时段新增开的型号j 的发电机的台数，后一时间段需关闭发电机时，0ij x =V 。此外，只需改变一个约束条件，即发电机组在第i 个时间段所能发出的最大总功率的80%要大于等于该时段的用电需求。最后建立线性单目标最优化模型来求解。

5 问题一的解答

5.1 模型的建立

5.1.1 确定目标函数 要使总成本最小，需合理安排四种发电机来满足七个时间段的用电需求，总成本由以下三个指标组成：

（1）总固定成本=第i 个时间段的时长⨯第i 个时间段型号j 发电机的数量⨯型号

j 发电机每小时的固定成本

4

7

11j j ij j i p c t x ===∑∑

（2）总边际成本=第i 个时间段的时长⨯第i 个时间段型号j 发电机的数量⨯第i 个时间段型号j 发电机超出最小功率部分的功率⨯型号j 发电机每兆瓦边际成本

4

7

11j j ij j i q d t p ===∑∑

（3）总启动成本=型号j 发电机启动数量⨯型号j 发电机的启动成本

4

4

7

1112

@1

2ij j j ij j j j i sign x s x e x e ===+=+∑∑∑

V V 则总成本 =固定总成本+边际总成本+启动总成本

Q p q s =++

5.1.2 确定约束条件

约束条件一：台数约束

型号j 发电机在任一时间段的数量不超过可用数量

01,271,2,3,4ij ij j ij x x n i j x ⎧∈N ⎪

≤≤==⎨⎪

∈N

⎩L V

约束条件二：功率约束

型号j 发电机在任一时间段的超出功率不超过最大功率与最小功率只差

()1,271,2,3,4ij j j ij

p b a x i j ≤-==L

约束条件三：需求约束

四种型号发电机在第i 个时间段的发电总量应不小于其需求量

()

4

11,27i ij j ij j w p a x i =≤+=∑L

5.1.3综上所述，得到问题一的最优化模型

()474

4

7

111

1

12

@1

min 2ij j j ij j j ij j j ij j j i j j i sign x Q c t x d t p x e x e =====+=+++∑∑∑∑∑

V V

()()4

1..0i ij j ij j ij j j ij ij ij ij j w p a x p b a x s t x x x n

=⎧

≤+⎪⎪⎪≤-⎨⎪

∈N ∈N ⎪⎪≤≤⎩

∑V 5.2 模型一的求解

根据建立的模型用Lingo 软件代入数据求解（源程序见附录）得最小总成本为1540770元，各时段各型号发电机的数量和总超出功率结果如表三：