线性规划的对偶问题及其经济含义

线性规划的对偶问题及其经济含义
信息工程学院
数学121
12421001
崔旭
在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。

对偶理论主要研究经济学中的相互确定关系，涉及到经济学的诸多方面。

产出与成本的对偶、效用与支出的对偶，是经济学中典型的对偶关系。

当然，经济系统中还有许多其他这样的对偶关系。

对偶理论有许多重要应用：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；对偶规划中的变量就是影子价格。

对偶定理：有一对对偶的线性规划问题，若其一有一个有限的最优解，则另一个也有最优解，且相应的目标函数值相等。

若任一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。

对称形式的对偶：原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。

例如：
原问题：minz=CX AX>=b X>=0
对偶问题：max=Yb YA<=C X>=0
对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。

弱对偶性定理：若()0
Y分别是原问题和对偶问题的可行解，则有
X和()0
C()()0
0b
≥
X Y
最优性定理：若()0
Y分别是原问题和对偶问题的可行解，且有
X和()0
()0
CX=()0
bY，则()0
Y分别是原问题和对偶问题的最优解。

X和()0
最优对偶变量（影子价格）的经济解释：由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题和对偶问题的目标函数值相等。

如果在得到最优解时，某种资源并未完全利用，其剩余量就是该约束中剩余变量的取值，那么该约束相对应的影子价格一定为零。

因为在得到最优解时，这种资源并不紧缺，故此时再增加这种资源不会带来任何效益。

反之，如果某种资源的影子价格大于零，就说明再增加这种资源的可获量，还回带来一定的经济效益，即在原问题的最优解中，这种资源必定已被全部利用，相应的约束条件必然保持等式。

用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。

用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。

用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。

影子价格是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。

这个定义是基于线性规划中的合理利用有限资源以求得最好的经济效果的规划问题。

影子价格正是这种假设条件中单位资源对目标极值的贡献，是资源的单位价格，反映资源在企业内部运用的贡献情况，称之为资源的影子价格。

如果目标函数是利润，这里的就是影子利润（意义不大）；如果目标函数是销售金额，这里的才是影子价格。

人们通常讨论的是后一种，目标函数是销售金额，是影子价格。

从对公式的解读中，人们看
到这个资源的影子价格是资源的本身价格加上其对产品的边际利润贡献。

由此人们可以看到，是i资源的边际价格、最高买价；是资源的机会成本、最低卖价。

这就是影子价格的经济意义。