勾股定理公开课课件
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a2+b2=c2 定
理
长分别如为果a直,b角，三斜角边形长的为两c，条那直么角边探
c2=a2+b2.
索
勾a
c弦
勾 股
定
b股
理
试一试?
请利用此图象，证明勾股定理：
a2+b2=c2
探
索
cb
勾
s1 s2
股
a
定
理
走 进 数 学 史
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
辛卜松证明、
陈杰证明。
应用勾股定理
a
c
确定斜边 c2= a2+b2
？
b
a
b
确定斜边 b2= a2+c2
？
c
b
a
确定斜边 a2= b2+c2
？
c
应用勾股定理
c2=a2 +b2
a
c 灵活运用 a2= c2 - b2
b
b2= c2 - a2
勾股定理的证明方法
证 法 一
走
证
进
法 二
数
学
证 法
史
三
（邹元治证明）
（赵爽证明） 赵爽:我国古代数学家
勾股定理的证明方法
证 法 四
走证
进
法 五
数
学
证 法
史六
（加菲尔德证明） 加菲尔德:第二十任总统
（梅文鼎证明） 梅文鼎:清代天文、数学家
（项明达证明） 项明达:清代数学家
勾股定理的证明
走 进 数 学 史
国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，
有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有:
欧几里得证明、
利用相似三角形性质证明、
杨作玫证明、
李锐证明、
利用切割线定理证明、
利用多列米定理证明、
作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、
再见
勾股定理的由来
走 进 数 学 史
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉 斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世 纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录 着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四， 经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话
的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4 （长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事
实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的
话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五
18.1
勾股定理(1)
——数形结合之美
你想知道吗?
国庆节前，为了更好观看阅兵式，
小明妈妈买了一部42英寸（106厘米）
的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发
现屏幕只有85厘米长和64厘米宽，他
觉得一定是售货员搞错了。你同意他的
探 索
想法吗？你能解释这是为什么吗？~
勾
股
定
理
数
也角友
学
来三家 观角作 相
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我
妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85 厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员
搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是 为什么吗？~
内容总结：
（1）运用勾股定理的条件是什么？
（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？
（3）勾股定理有什么用途？
方法总结：
故
察形客 传 下三， 两
事 链
面边发 千
探 的 的 现 五
图某朋 百 案种友 年
接
索 ， 数 家 前
看量用 ，
勾 看 关 砖 一
你系铺 次
股 能 ， 成 毕
发同的 达 现学地 哥
定 什 们 面 拉
么，反 斯
理 ？ 我 映 去 们直朋
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
探
C
索
勾
股 A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC 定 理
A
图1-1 图1-2
C
C
B
A的面积 （单位面积）
9 16
A
B的面积 （单位面积）
16 36
探
索
B
勾
股 C的面积
定 （单位面积）
25 52
理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
C Aa c
b B
SA+SB=SC探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股
选一选
应用勾股定理
已知△ABC的三边分别是a，b，c， 若∠B=90度，则有关系式（ ）
A.a2+b2=c2
A
B.a2+c2=b2
C.a2-b2=c2 D.b2+c2=a2
来自百度文库
B
C
讲一讲
应用勾股定理
求图中直角三角形的未知边的长度。
A
A
8
15
17
B6 C B
C
勾股定理，想得再多一点
做一做
在Rt△ABC中，∠C=900 .
世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》 时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个 定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百 牛定理”．）
（1）若a=5，b=12， 则c =___________. （2）若c=4，b= 2 ，则a =______.
勾股定理，想得再多一点
如图，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面4 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
4米
3米
勾股定理，想得再多一点
回头再看看
国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明
用直角三角形三边表示三个正方形面积——观察归 纳发现勾股定理——任意画一个直角三角形，再验 证自己的发现。
家庭作业：
课本P55 习题2 补充： 1、求下列直角三角形中未知边的长:
A
B
2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下， 树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
A
B
理
长分别如为果a直,b角，三斜角边形长的为两c，条那直么角边探
c2=a2+b2.
索
勾a
c弦
勾 股
定
b股
理
试一试?
请利用此图象，证明勾股定理：
a2+b2=c2
探
索
cb
勾
s1 s2
股
a
定
理
走 进 数 学 史
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
辛卜松证明、
陈杰证明。
应用勾股定理
a
c
确定斜边 c2= a2+b2
？
b
a
b
确定斜边 b2= a2+c2
？
c
b
a
确定斜边 a2= b2+c2
？
c
应用勾股定理
c2=a2 +b2
a
c 灵活运用 a2= c2 - b2
b
b2= c2 - a2
勾股定理的证明方法
证 法 一
走
证
进
法 二
数
学
证 法
史
三
（邹元治证明）
（赵爽证明） 赵爽:我国古代数学家
勾股定理的证明方法
证 法 四
走证
进
法 五
数
学
证 法
史六
（加菲尔德证明） 加菲尔德:第二十任总统
（梅文鼎证明） 梅文鼎:清代天文、数学家
（项明达证明） 项明达:清代数学家
勾股定理的证明
走 进 数 学 史
国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，
有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有:
欧几里得证明、
利用相似三角形性质证明、
杨作玫证明、
李锐证明、
利用切割线定理证明、
利用多列米定理证明、
作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、
再见
勾股定理的由来
走 进 数 学 史
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉 斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世 纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录 着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四， 经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话
的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4 （长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事
实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的
话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五
18.1
勾股定理(1)
——数形结合之美
你想知道吗?
国庆节前，为了更好观看阅兵式，
小明妈妈买了一部42英寸（106厘米）
的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发
现屏幕只有85厘米长和64厘米宽，他
觉得一定是售货员搞错了。你同意他的
探 索
想法吗？你能解释这是为什么吗？~
勾
股
定
理
数
也角友
学
来三家 观角作 相
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我
妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85 厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员
搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是 为什么吗？~
内容总结：
（1）运用勾股定理的条件是什么？
（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？
（3）勾股定理有什么用途？
方法总结：
故
察形客 传 下三， 两
事 链
面边发 千
探 的 的 现 五
图某朋 百 案种友 年
接
索 ， 数 家 前
看量用 ，
勾 看 关 砖 一
你系铺 次
股 能 ， 成 毕
发同的 达 现学地 哥
定 什 们 面 拉
么，反 斯
理 ？ 我 映 去 们直朋
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
探
C
索
勾
股 A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC 定 理
A
图1-1 图1-2
C
C
B
A的面积 （单位面积）
9 16
A
B的面积 （单位面积）
16 36
探
索
B
勾
股 C的面积
定 （单位面积）
25 52
理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
C Aa c
b B
SA+SB=SC探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股
选一选
应用勾股定理
已知△ABC的三边分别是a，b，c， 若∠B=90度，则有关系式（ ）
A.a2+b2=c2
A
B.a2+c2=b2
C.a2-b2=c2 D.b2+c2=a2
来自百度文库
B
C
讲一讲
应用勾股定理
求图中直角三角形的未知边的长度。
A
A
8
15
17
B6 C B
C
勾股定理，想得再多一点
做一做
在Rt△ABC中，∠C=900 .
世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》 时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个 定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百 牛定理”．）
（1）若a=5，b=12， 则c =___________. （2）若c=4，b= 2 ，则a =______.
勾股定理，想得再多一点
如图，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面4 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
4米
3米
勾股定理，想得再多一点
回头再看看
国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明
用直角三角形三边表示三个正方形面积——观察归 纳发现勾股定理——任意画一个直角三角形，再验 证自己的发现。
家庭作业：
课本P55 习题2 补充： 1、求下列直角三角形中未知边的长:
A
B
2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下， 树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
A
B