高数空间解析几何学平面与空间直线的方程
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z
解
yoz 面上直线方程为 z y cot
2 2
M1 (0, y1 , z1 )
y
圆锥面方程
o
x
z x y cot
M (将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z x 轴和 z 轴； （1）双曲线 2 2 1 分别绕 a c
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
4
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例3 方程
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
1
一般研究空间曲面主要考虑两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
2
O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为1 : 2 的 例 1 求与原点 点的全体所组成的曲面方程.
C（其他类推） 面，其准线为 xoy面上曲线 .
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x 2 pz
9
2
2
3、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
5
1. 球面
R 例 4 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 的球面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
第四节
一
曲面和空间曲线
曲面及其方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
( 2) x 2 y 2 4;
16
思考题解答
11
2 2 z z , y x y 将 代入 f ( y1 , z1 ) 0 1 1
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
3
例 2 已知 A(1,2,3)，B( 2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
14
y2 z2 2 2 1 z 轴； （2）椭圆 a 绕y 轴和 c x 0 2 y x2 z2 旋 绕 y 轴旋转 2 1 2 转 a c
f y,
x 2 z 2 0.
12
L 相交的直线旋转一周， 例 5 直线L 绕另一条与 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的半顶 2 z 轴，半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 角为 的圆锥面方程．
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2
2 2 2 2 x y z R 特殊地：球心在原点时方程为
6
2、柱面
解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
播放
10
旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y, z ),
o
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
播放
7
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
8
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c 2 y 2 pz z 轴； （3）抛物线 绕 x 0
2 2 2
椭 球 面
x 2 y 2 2 pz
旋转抛物面
15
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2; ( 3) y x 1.
解
yoz 面上直线方程为 z y cot
2 2
M1 (0, y1 , z1 )
y
圆锥面方程
o
x
z x y cot
M (将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z x 轴和 z 轴； （1）双曲线 2 2 1 分别绕 a c
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
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2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例3 方程
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
1
一般研究空间曲面主要考虑两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
2
O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为1 : 2 的 例 1 求与原点 点的全体所组成的曲面方程.
C（其他类推） 面，其准线为 xoy面上曲线 .
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x 2 pz
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2
2
3、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
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1. 球面
R 例 4 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 的球面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
第四节
一
曲面和空间曲线
曲面及其方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
( 2) x 2 y 2 4;
16
思考题解答
11
2 2 z z , y x y 将 代入 f ( y1 , z1 ) 0 1 1
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
3
例 2 已知 A(1,2,3)，B( 2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
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y2 z2 2 2 1 z 轴； （2）椭圆 a 绕y 轴和 c x 0 2 y x2 z2 旋 绕 y 轴旋转 2 1 2 转 a c
f y,
x 2 z 2 0.
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L 相交的直线旋转一周， 例 5 直线L 绕另一条与 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的半顶 2 z 轴，半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 角为 的圆锥面方程．
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2
2 2 2 2 x y z R 特殊地：球心在原点时方程为
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2、柱面
解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
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旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y, z ),
o
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
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从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c 2 y 2 pz z 轴； （3）抛物线 绕 x 0
2 2 2
椭 球 面
x 2 y 2 2 pz
旋转抛物面
15
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2; ( 3) y x 1.