一元二次不等式—— R上的恒成立问题课件
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判别式Δ
二次 项系 数a
Δ >0
①y
Δ =0
②y
Δ <0
③y
a>0
④y
o x o o
o
⑤y
x
x
o
⑥y
x
o
a<0
x
x
由二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象得出结论: ⒈二次函数图象开口方向与函数解析式中的 二次项系数a ___________________________ 有关,图像与X轴交点 Δ =b²-4ac 情况与函数解析式中的_____________________有关.
1.一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系(a>0):
Δ =b² -4ac
y=ax2+bx+c=0图象
Δ >0
y
O
Δ =0
y
Δ <0
y
x1
方程ax2+bx+c=0的根
x2
x
O
b 2a
x
O
没有实根
x
有两个相异实根x1<x2
有两个相等实根x1=x2
ax2+bx+c>0的解集
ax2+bx+c≥0的解集
归纳总结
1. 一元二次不等式的解，一元二次方程的根及其相 应的二次函数图象相对于X轴的位置三者密切相关， 解不等式时要注意解题格式 ，头脑中要想象图象 （或画出草图），数形结合万般好，数形分离万事休。
2. 一元二次不等式在R上的恒成立问题 ： ①当a>0且Δ <0时，ax² +bx+c>0恒成立。 ②当a>0且 Δ ≤0时，ax² +bx+c≥0恒成立。 ③当a<0且Δ <0时， ax² +bx+c<0恒成立。 ④ 当a<0且Δ ≤0时， ax² +bx+c≤0恒成立。
课前尝试练习
解不等式a(x+2)(x-3)<0 ( a0)
小明下面的答案正确吗？请说明理由。 解：原不等式的解集为(-2，3)
一元二次不等式(4)
学习目标： 1.进一步理解函数，方程和不等式之间的关 系，并能运用二次函数图象解决一些较简单的恒 成立问题。 2.提高阅读理解能力，培养数形结合以及分 类讨论的思想。
追 问 ： 当 Δ=b²-4ac>0 时 ， 二 次 不 等 式 ax² +bx+c<0的解集形式一定是在两根之间吗？
二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象
判别式Δ
二次 项系 数a
Δ >0
①y
Δ =0
②y
Δ <0
③y
a>0
④y
o x o o
o
⑤y
x
x
o
⑥y
x
o
a<0
x
x
由二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象得出结论: 2. ⑴ 哪 些 二 次 函 数 图 象 恒 在 X 轴 上 方 ？ 此 时
⑶哪些图象符合ax²+bx+c≥0的解集为R？此时满 足条件____________ ⑷哪些图象符合ax²+bx+c≤0的解集为R？此时满 足条件____________
例题分析
例1.(1)解不等式x 2 2 x 3 0; (2)方程x 2 2 x k 0有两个不相等实根, 求实数k的取值范围; (3)若不等式x 2 2 x k 0对任意实数x都成立, 求实数k的取值范围.
例题分析
例2.已知关于x的不等式mx2-mx+1≥0的解集为R ，试确定实数m的 取值范围。
小华解答：当m>0时且有△<0，得0<m<4 小红解答：当m>0时△≤0得0<m≤4 小明解答：当m>0时△<0得0<m<4; 当m=0时成立；当m<0 时不合要求，总之0≤m<4
变1.若不等式(m 2) x 2 2(m 2) x 4 0的解集为 , 求实数m的取值范围.
x x x 或x x
1 2
x x x 或x x
1 2
b x x R , 且x 2a
R R
R
ax2+bx+c<0的解集 ax2+bx+c≤0的解集
x x x x
1源自文库
x x2 x x2
b 2a
尝试练习
1 0 C 4 （1）不等式 的解集为 ，则（ ） 1 b 1 b 1 b 1 b b A． 1 B． 1 或 b 1 C． D． 或 x 2 bx
（2）若函数y= x² +kx+1 的图像不在x轴下方 ，求实数k的取值范围。
变题之一：若函数y=kx² +kx的图象总在直线y=-1的上方，求k的范围。
1
课前尝试练习
解不等式a(x+2)(x-3)<0 ( a0)
小明下面的答案正确吗？请说明理由。 解：原不等式的解集为(-2，3)
二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象
判别式Δ
二次 项系 数a
Δ >0
①y ②
Δ =0
Δ <0
③
a>0
④y
o x
⑤ ⑥
a<0
o
x
尝试练习
解不等式a(x+2)(x-3)<0 ( a0)
小明下面的答案正确吗？请说明理由。 解：原不等式的解集为(-2，3) 正解：a>0时原不等式的解集为(-2，3) a<0时原不等式的解集为 ,2 3,
你的解题策略(或依据）是什么？
数形结合万般好，数形分离万事休。
——华罗庚
二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象
满 足 条 件 ____________ ， 此 时 二 次 不 等 式 ax²+bx+c>0的解集为__________, ax²+bx+c≤0的解 集为__________
⑵哪些二次函数图象图象恒在X轴下方?此时满足 条 件 ____________ ， 此 时 ax²+bx+c<0 的 解 集 为 __________, ax²+bx+c≥0的解集为__________
若无限制a≠0，则还须考虑a=0时是否满足题意。
（分类讨论）
二次 项系 数a
Δ >0
①y
Δ =0
②y
Δ <0
③y
a>0
④y
o x o o
o
⑤y
x
x
o
⑥y
x
o
a<0
x
x
由二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象得出结论: ⒈二次函数图象开口方向与函数解析式中的 二次项系数a ___________________________ 有关,图像与X轴交点 Δ =b²-4ac 情况与函数解析式中的_____________________有关.
1.一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系(a>0):
Δ =b² -4ac
y=ax2+bx+c=0图象
Δ >0
y
O
Δ =0
y
Δ <0
y
x1
方程ax2+bx+c=0的根
x2
x
O
b 2a
x
O
没有实根
x
有两个相异实根x1<x2
有两个相等实根x1=x2
ax2+bx+c>0的解集
ax2+bx+c≥0的解集
归纳总结
1. 一元二次不等式的解，一元二次方程的根及其相 应的二次函数图象相对于X轴的位置三者密切相关， 解不等式时要注意解题格式 ，头脑中要想象图象 （或画出草图），数形结合万般好，数形分离万事休。
2. 一元二次不等式在R上的恒成立问题 ： ①当a>0且Δ <0时，ax² +bx+c>0恒成立。 ②当a>0且 Δ ≤0时，ax² +bx+c≥0恒成立。 ③当a<0且Δ <0时， ax² +bx+c<0恒成立。 ④ 当a<0且Δ ≤0时， ax² +bx+c≤0恒成立。
课前尝试练习
解不等式a(x+2)(x-3)<0 ( a0)
小明下面的答案正确吗？请说明理由。 解：原不等式的解集为(-2，3)
一元二次不等式(4)
学习目标： 1.进一步理解函数，方程和不等式之间的关 系，并能运用二次函数图象解决一些较简单的恒 成立问题。 2.提高阅读理解能力，培养数形结合以及分 类讨论的思想。
追 问 ： 当 Δ=b²-4ac>0 时 ， 二 次 不 等 式 ax² +bx+c<0的解集形式一定是在两根之间吗？
二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象
判别式Δ
二次 项系 数a
Δ >0
①y
Δ =0
②y
Δ <0
③y
a>0
④y
o x o o
o
⑤y
x
x
o
⑥y
x
o
a<0
x
x
由二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象得出结论: 2. ⑴ 哪 些 二 次 函 数 图 象 恒 在 X 轴 上 方 ？ 此 时
⑶哪些图象符合ax²+bx+c≥0的解集为R？此时满 足条件____________ ⑷哪些图象符合ax²+bx+c≤0的解集为R？此时满 足条件____________
例题分析
例1.(1)解不等式x 2 2 x 3 0; (2)方程x 2 2 x k 0有两个不相等实根, 求实数k的取值范围; (3)若不等式x 2 2 x k 0对任意实数x都成立, 求实数k的取值范围.
例题分析
例2.已知关于x的不等式mx2-mx+1≥0的解集为R ，试确定实数m的 取值范围。
小华解答：当m>0时且有△<0，得0<m<4 小红解答：当m>0时△≤0得0<m≤4 小明解答：当m>0时△<0得0<m<4; 当m=0时成立；当m<0 时不合要求，总之0≤m<4
变1.若不等式(m 2) x 2 2(m 2) x 4 0的解集为 , 求实数m的取值范围.
x x x 或x x
1 2
x x x 或x x
1 2
b x x R , 且x 2a
R R
R
ax2+bx+c<0的解集 ax2+bx+c≤0的解集
x x x x
1源自文库
x x2 x x2
b 2a
尝试练习
1 0 C 4 （1）不等式 的解集为 ，则（ ） 1 b 1 b 1 b 1 b b A． 1 B． 1 或 b 1 C． D． 或 x 2 bx
（2）若函数y= x² +kx+1 的图像不在x轴下方 ，求实数k的取值范围。
变题之一：若函数y=kx² +kx的图象总在直线y=-1的上方，求k的范围。
1
课前尝试练习
解不等式a(x+2)(x-3)<0 ( a0)
小明下面的答案正确吗？请说明理由。 解：原不等式的解集为(-2，3)
二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象
判别式Δ
二次 项系 数a
Δ >0
①y ②
Δ =0
Δ <0
③
a>0
④y
o x
⑤ ⑥
a<0
o
x
尝试练习
解不等式a(x+2)(x-3)<0 ( a0)
小明下面的答案正确吗？请说明理由。 解：原不等式的解集为(-2，3) 正解：a>0时原不等式的解集为(-2，3) a<0时原不等式的解集为 ,2 3,
你的解题策略(或依据）是什么？
数形结合万般好，数形分离万事休。
——华罗庚
二次函数y=ax² +bx+c（a≠0)的图象
满 足 条 件 ____________ ， 此 时 二 次 不 等 式 ax²+bx+c>0的解集为__________, ax²+bx+c≤0的解 集为__________
⑵哪些二次函数图象图象恒在X轴下方?此时满足 条 件 ____________ ， 此 时 ax²+bx+c<0 的 解 集 为 __________, ax²+bx+c≥0的解集为__________
若无限制a≠0，则还须考虑a=0时是否满足题意。
（分类讨论）