2014年中考数学一轮复习学案第27讲 尺规作图

第27讲尺规作图

【考纲要求】

1．能用尺规完成五种基本作图．

2．会写已知、求作，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．

3．能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题.

【命题趋势】

中考对本部分内容的考查主要是利用尺规作图解决实际问题的能力，题型主要以设计、探究形式的解答题为主.

【考点探究】

考点一、基本作图

【例1】按要求用尺规作图(只保留作图痕迹，不必写出作法)．

(1)在图(1)中作出∠ABC的平分线；

(2)在图(2)中作出△DEF的外接圆O.

方法总结依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹．

触类旁通1 画△ABC，使其两边为已知线段a，b，夹角为β.(要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法)

已知：

求作：

考点二、基本作图的实际应用

【例2】如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

分析：∵圆与AB，BC都相切，∴圆心到AB，BC的距离相等．∴圆心应是∠ABC的角平分线与AC的交点．

解：下图即为所求图形．

方法总结要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题．

触类旁通2 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如下图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．

要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

【经典考题】

1．(2013绍兴)如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内切正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：

A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误

C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确

2．(2013山东)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()

A．SSS B．ASA

C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等

3．(2013贵州)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)

4．(2013德州)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不要求写出画法)

5．(2013广东)在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，

(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

【模拟预测】

1．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：

(1)作∠A的角平分线交BC于D点．

(2)作AD的中垂线交AC于E点．

(3)连接DE.

根据他画的图形，判断下列关系何者正确？()

A．DE⊥AC B．DE∥AB

C．CD＝DE D．CD＝BD

2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于__________．

3．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__________个．

4．如图，已知∠AOB，点M，N，求作点P，使点P在∠AOB的角平分线上，且PM ＝PN.(保留作图痕迹，不写作法)

5．某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．

(1)用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1(保留作图痕迹)；

(2)若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1.

参考答案

【考点探究】

触类旁通1．解：已知：线段a，b，角β.

求作：△ABC，使边BC＝a，AC＝b，∠C＝β.

画图(保留作图痕迹)

触类旁通2．解：已知A村、B村、C村，求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A 村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．

【经典考题】

1．A根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB.∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

∴OE ＝DE ＝1

2

OD .

在Rt △OBE 中，∵OB ＝OD ， ∴OE ＝1

2

OB ，

∴∠OBE ＝30°.又∠OEB ＝90°，∴∠BOE ＝60°. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA . 又∠BOE 为△AOB 的外角， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°， ∴∠ABC ＝∠ABO ＋∠OBE ＝60°. 同理∠C ＝60°，∴∠BAC ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠C ，

∴△ABC 为等边三角形，故甲的作法正确． 根据乙的思路，作图如下：

连接OB ，BD .∵OD ＝BD ，OD ＝OB ， ∴OD ＝BD ＝OB ，∴△BOD 为等边三角形， ∴∠OBD ＝∠BOD ＝60°.

同理可知△COD 也为等边三角形，∠OCD ＝∠COD ＝60°， ∴∠BOC ＋∠OCD ＝∠BOD ＋∠COD ＋∠OCD ＝180°， ∴BO ∥CD .

又∵△BOD 和△COD 是等边三角形， ∴四边形BDCO 是菱形， ∴∠OBM ＝∠DBM ＝30°.

又OA ＝OB ，且∠BOD 为△AOB 的外角， ∴∠BAO ＝∠ABO ＝30°，

∴∠ABC ＝∠ABO ＋∠OBM ＝60°， 同理∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝60°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ，

∴△ABC 为等边三角形，故乙的作法正确．故选A.