高等数学课件第七章同济六版

y (0) y (0) y (0) 0
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 e x C3 e 2 x 设非齐次方程特解为 原方程通解为
y C1 C2 e x C3e 2 x
代入方程得
故
由初始条件得
C2 2C3 1 2
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y p y q y f (x) ( p, q 为常数 )
根据解的结构定理 , 其通解为
①
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
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若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 p=k. x 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有
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o x x
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h sin p t x A sin ( k t ) 2 2 k p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振幅 2 将很大 ! 2 k p • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
x t ( a sin k t b cos k t ) h 代入④可得: a 0, b 2k
方程④的解为
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h x A sin ( k t ) t cos k t 2k
自由振动 强迫振动
随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅
可无限增大, 这时产生共振现象 .
o x
若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
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第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
e i x e i x e i x e i x ~ Pn ( x) f ( x) e x Pl (x) 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 令 m max n , l , 则
于是求得一个特解
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例5.
的通解.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程: 6b cos 3x 6a sin 3x
比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x ) 所求通解为
k x
~ Rm cos x Rm sin x
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例4.
~ 解: 本题 0, 2, Pl ( x) x, Pn ( x) 0, 特征方程 r2 1 0 不是特征方程的根, 故设特解为
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Q (x)
(2 p q ) Q ( x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
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一、
f ( x) e x Pm ( x) 型
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
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Qm e Qm e x k e x Qm (cos x i sin x)
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点
y y1 y1 k x
f ( x) Pm ( x) e
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( i ) x
( i ) x
Pm ( x) e ( i ) x
Pm ( x) e
Pm ( x) e ( i ) x
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第二步 求如下两方程的特解
(2) 特征方程 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
有根
x ( d cos x k sin x )
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例7. 第六节例1中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 F H sin pt 的作用, 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
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例6. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y ( 4) y x e x 3 sin x
解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为
例2.
的通解.
解: 本题 2 , 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为
y* x ( b0 x b1 ) e 2 x
1 b0 , b1 1 2
代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x 比较系数, 得
(Qm ( x) 为m 次多项式)
( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm ( x) e ( i ) x
等式两边取共轭 : ( i ) x y1 p y1 q y1 Pm ( x) e
这说明
为方程 y1
③ 的特解 .
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因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
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1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
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例3. 求解定解问题 y 3 y 2 y 1
解: 本题 0 , 特征方程为 其根为
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第三步 求原方程的特解
原方程
y p y q y e
y* y1 y1
x
~ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
Qm (cos x i sin x) ~ x k e x Rm cos x Rm sin x ~ 其中 R m , R m 均为 m 次多项式 .
(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x 2Qm ( x) e x 则Q
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* x k Qm ( x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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分析思路:
x
~ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 型
第一步 将 f (x) 转化为
f ( x) Pm ( x) e
( i ) x
Pm ( x) e
( i ) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x

x e
因
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y

y1 y1

y1 y1
y*
~ 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm 均为 m 次实
多项式 .
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பைடு நூலகம்
例1.
解: 本题 0 , 而特征方程为
的一个特解.
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为 代入方程 :
比较系数, 得
1 b0 1 , b1 3
于是所求特解为
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代入方程得
的一个特解 .
(3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 3b 4 c 0 a 3 , d 9 比较系数 , 得 3c 0 bc0 3d 4 a 0
第八章
第八节
常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x) e x Pm ( x) 型 二、 f ( x) e x [ Pl ( x) cos x ~ Pn ( x) sin x] 型
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二阶常系数线性非齐次微分方程 :
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解得
C1 3 4 C2 1 C 1 3 4
于是所求解为
3 x 1 2 x 1 y e e x 4 4 2
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二、 f ( x) e
d2 x k 2 x h sin p t 2 dt • 当p ≠ k 时, 齐次通解:

④
X C1 sin k t C2 cos k t A sin ( k t )
非齐次特解形式: x a sin p t b cos pt h , b0 代入④可得: a 2 2 k p 因此原方程④之解为 Southern Medical University
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则取 x e为[ m 次待定系数多项式 ( x) (2 p q ) Q ( x) ] Q ( x) ( 2 p ) Q Q (x) 从而得到特解
e x y* e 形式为 Pm (x) x Qm ( x) .
p y q y Pm ( x) e ( i ) x y
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
特解: 故
y1
② ③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
x Qm ( x) e
k
( i ) x
小 结:
对非齐次方程
~ y p y q y e x Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x
( p, q 为常数 )
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* x e
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.