柯西不等式的证明与应用

柯西不等式的证明及其应用

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

关键词：柯西不等式，证明，应用

Summar y：Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality.

Keywords：Cauchy inequality, proof application

不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。

一、相关定理

柯西不等式是指下面的定理

定理 设,(1,2,...,),i i a b R i n ∈=则2

2

21

1

1

()()()n

n

n

i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑

当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤.

柯西不等式有两个很好的变式：

变式1 设,0(1,2,...,),i a R bi i n ∈>= 2

21()

n

i i i i

i a a b b =≥∑∑∑,

等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤

变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则2

1()

n

i i i i i i

a a

b a b =≥∑∑∑,

二、柯西不等式的证明： 常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：

作差：因为2

221

1

1

()()()n

n

n

i

j

i i i j i a b a b ===-∑∑∑

221

1

1

1

()()()()

n n n n

i

j

i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑

2211

11

n n n n

i j

i i j j

i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑

2222

111111

1(2)2n n n n n n

i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑

222211

1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211

1()02n n

i j j i i j a b a b ===-≥∑∑

所以222

1

1

1

()()()n n n

i

j

i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221

1

1

()()()n

n

n

i

j

i i i j i a b a b ===≥∑∑∑

即………………222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当……0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -== 即

…………(1,2,,;1,2,,;0)j

i j i j

a a i n j n

b b b ===≠时等号成立。 2）利用判别式证明（构造二次函数法）

若21

0n

i i a ==∑，则12....0.n a a a ====此时不等式显然成立。若21

0n

i i a =≠∑，

构造二次函数()222

1112n n n i i i i i i i f x a x a b x b ===⎛⎫⎛⎫=•-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑()2

10n

i i i a x b ==-≥∑对于

x ∈R 恒成立，所以此二次函数()f x 的判别式△≤0，即得证。 3）用数学归纳法证明

i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。 当n=2时，22222112212221122()2a b a b a b a b a b a b +=++

222222222222

121211221221

()()a a b b a b a b a b a b ++=+++。

因为2222

122

111222a b a b a b a b +≥，故有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++ 当且仅当1221a b a b =，即

12

12

a a

b b =时等号成立。 ii ）假设n k =时不等式成立。即

(222222)

211221212()()()k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++

当且仅当

(12)

12n n

a a a

b b b ===时等号成立。 那么当1n k =+时，

2

112211()k k k k a b a b a b a b ++++++……

222

112211112211

()2()k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b ++++=++++++++…………

22222222121211112211

()()2()k k k k k k k k a a a b b b a b a b a b a b a b ++++≤+++++++++++………………

2222222222222222121211111111

()()k k k k k k k k k k a a a b b b a b b a a b b a a b ++++++≤++++++++++++………………222222121121()()k k a a a b b b ++=++++++…………

2222221212()()

n n a a a b b b =++++++…………

当且仅当……1111212111,,,k k k k k k k k a b b a a b b a a b b a ++++++===时等号成立，