理想气体比热、内能、焓和熵分析

理想气体的比热和热量
为了计算在状态变化过程中的吸热量和放热量，我们引入了比热容的概念。

一、比热容的定义
比热容与我们前面所讲过的比容、比内能、比焓、比功等参数类似，它是一个比参数，那么它的广延参数就是热容，所以在讲比热容之前我们先看一下热容。

1.热容
热容指的是物体在一定的准静态过程中，温度升高或降低1K 时吸收或放出的热量，用符号C 表示。

根据热容的定义，我们可以得到：若工质在一定的准静态过程中，温度变化了△T ，过程中热量为Q ，那么这个过程中的比热为：
Q C T
=∆ 而物体的比热容是随温度变化的，并不是一个常数，我们上面的表示方法仅仅表示的是工质在这一过程中的平均比热容，若我们精确的表示工质在某一温度处的热容，则：
Q
C dT δ=
单位为J/K
2.比热容
用符号c 表示，比热容是热容的比参数。

比参数是广延参数与质量的比值。

所以比热容的定义为：1kg 物体在一定的准静态过程中温度升高或降低1K 时吸收或放出的热量。

C q c m dT
δ== 单位：J/(kgK)
这个比容又叫比质量热容，除了比质量热容外，热容还有两种比参数，分别是容积比热和摩尔比热。

容积比热用符号c ’表示，指的是1Nm 3工质在一定的准静态过程中温度升高或降低1K 时吸收或放出的热量。

单位为J/( Nm 3K)。

摩尔比热用符号Mc 表示，指的是1mol 工质在一定的准静态过程中温度升高或降低1K 时吸收或放出的热量。

单位为J/( molK)。

三个比容之间的关系：'Mc M c Vm c =⋅=⋅
二、理想气体的比热
热量是过程参数，其数值的大小与所进行的热力过程有关，同样比热也是过程参数，也与工质所进行的热力过程有关，不同热力过程的比热值也是不相同的。

在我们工程热力学的研究范围中，最常用到的比热有两种：
一个是定容过程的比热，一个是定压过程的比热。

定容过程：整个热力过程中工质的容积保持不变。

比如固定容器中的气体被加热。

定压过程：整个热力过程中工质的压力保持不变。

比如气缸活塞系统，活塞上放一质量不变的重物，对工质进行加热的过程。

两个过程的比热分别称为定容比热c v 和定压比热c p 。

1.定容比热c v
1kg 物体在定容过程中温度变化1K 时吸收或放出的热量。

定容过程的特点是：体积变化为0，即dv=0
对于可逆过程：q du pdv du δ=+= ∴v du pdv du c dT dT
+=
= 即v du c dT = 2.定压比热c p
1kg 物体在定压过程中温度变化1K 时吸收或放出的热量。

定压过程的特点是：压力变化为0，即dp=0
对于可逆过程：q dh vdp dh δ=-= ∴p dh vdp dh c dT dT
-=
= 即p dh c dT = 这两个式子只适用于准静态过程、平衡过程、可逆过程。

对于理想气体来说，c v 、c p 仅是温度的函数，与其他参数无关。

三、c v 与c p 的关系
1.关系1
根据dT dh c dT du
c p v ==
以及u 和h 之间的关系：h=u+pv=u+RT → dh=du+d(RT)=du+RdT 代入R c R dT
du dT RdT du dT dh c v p +=+=+== 即R c c v p +=
这是理想气体的定容比热与定压比热之间的关系，称为梅耶公式。

或将梅耶公式两边同乘以摩尔质量M 得到：m v p R Mc Mc +=
即任意一种理想气体的摩尔定压比热和摩尔定容比热之间只差一通用气体常数8.314。

2.关系2
定义一个比热容比k ，又叫绝热指数。

v p
c c k =
根据梅耶公式和比热容比，得到
v p
c c k =
R c c v p +=
R k k c R k c p v 111-=-=
该式只适用于理想气体。

四、利用比热计算热量
根据比热的定义式：
q c dT
δ=可得到： q cdt δ=
所以，2
1q cdt c t ==∆⎰
理想气体的内能、焓和熵
我们上一节课讲的c p 和c v 除了可以用来计算定压和定容过程中的热量，并且，根据前面我们讲的可逆定压定容过程中c p 和c v 的表达式：
dT dh c dT du
c p v ==
c p 和c v 还可以用来计算内能和焓。

一、理想气体内能、焓的计算
对于理想气体，忽略分子间相互作用力，认为理想气体不存在内位能，所以，理想气体的内能就等于内动能。

也就是说理想气体的内能仅与温度有关，而与比容无关，即内能是T 的单值函数。

根据焓h=u+Pv=u+RT 可知，焓h 同样也是温度的单值函数，所以理想气体内能u 和焓h 对温度T 可以用全微分。

而实际气体要考虑分子间的相互作用力，内能u 不仅与温度有关，而且与比容v 有关。

我们课程中只考虑简单的理想气体的内能和焓。

v p du c dt
dh c dt ==
积分得：
2
121v p u c dt h c dt ∆=∆=⎰⎰
我们用这个公式只能求出从状态1变化到状态2的过程中个，理想气体内能和焓的变化值，而这也恰恰正是我们所需要的，在我们工程热力学中，通常并不需要求得内能和焓的绝对值，而只需要知道过程中内能和焓的变化量。

根据这两个公式，我们可以选用前面我们讲过的三种比热来求内能和焓的变化。

最常会用到的是定值比热，则
2
121v v p p u c dt c T h c dt c T ∆==∆∆==∆⎰⎰
注意：虽然这里用的定容比热v c 和定压比热p c 来求的△u 和△h ，貌似要求
过程必须是定容过程或定压过程。

但实际上用这两个公式可求任意过程的△u 和△h ，不管过程是不是定容、定压，甚至不管过程是不是可逆。

因为u 和h 都是状态参数，其变化值仅与起终点有关，而与过程无关。

所以，对于理想气体，任何一个过程的热力学能变化量都和温度变化相同的定容过程的热力学能变化量相等，任何一个过程的焓的变化量都和温度变化相同的定压过程的焓变化量相等。

二、状态参数熵
1.定义
首先说明熵是状态参数。

所以我们可以用可逆过程来求任意过程。

熵的定义用数学表达式：
rev
q ds T δ=
其中：rev 表示可逆；
rev q δ：1kg 工质在可逆微小过程中的换热量。

T ：是传热微小过程的温度（绝对温度）
s ：比熵，ds 指微小过程中熵的变化。

2.熵的计算
我们主要研究可逆过程。

与内能和焓一样，我们也是关心过程中熵的变化，而不关心熵的绝对值。

根据rev
q ds T δ=
第一定律能量守恒方程rev rev q du Pdv q dh vdP
δδ=+=- 把理想气体的定容比热和定压比热的计算式：
v p du c dt
dh c dt ==
带入第一定律能量守恒方程，得到
rev v rev p q c dT Pdv q c dT vdP
δδ=+=- 把rev q δ的表达式分别带入上的定义式可得到：
①rev
v v v q c dT Pdv dT P dT R ds c dv c dv T T T T T v
δ+===+=+ 两边积分得：
22222221111
111ln ln ln ln v v v T v dT R s ds c dv c T R v c R T v T v ∆==+=+=+⎰⎰⎰ 即2211
ln ln v T v s c R T v ∆=+ ②p rev
p p c dT vdP
q dT v dT R ds c dP c dP T
T T T T P δ-===-=- 两边积分得：
22222221111111
ln ln ln ln p p p T P dT R s ds c dP c T R P c R T P T P ∆==-=-=-⎰⎰⎰ 即2211
ln ln p T P s c R T P ∆=- 以上两式说明，△s 是两个状态参数的函数（T,v ）或（T,P ），同样我们也可以导出△s 关于（P,v ）的表达式。

2211
ln ln p v v P s c c v P ∆=+ 总结：22112211
22
11ln
ln ln ln ln
ln v p p v T v s c R T v T P s c R T P v P s c c v P ∆=+∆=-∆=+。