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1996年试题 全国高考试题(高考数学试卷)

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普通高等学校招生全国统一考试数学 96文

普通高等学校招生全国统一考试数学 96文

1996年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分种.第I卷（选择题共65分）注意事项:1.答案Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I=｛1,2,3,4,5,6,7｝,集合A=｛1,3,5,7｝,B=｛3,5｝.则(2)当a>1时,在同一坐标系中.函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(C)最大值是2,最小值是-2 (D)最大值是2,最小值是-1(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积是(11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3),(3,-5)(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为(13)等差数列｛a n｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170(C)210 (D)260(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7,5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。

1996年全国Ⅱ高考数学试题(理)

1996年全国Ⅱ高考数学试题(理)

1996年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集I N =，集合{}|2,A x x n n N ==∈，{}|4,B x x n n N ==∈，则A ．I AB =B ．I A B =C ．I A B =D ．I A B =2．当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与logy x =的图像是3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是A ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C ．22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭4．复数4A．1+ B．1-+ C．1- D．1--5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ= ，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有A ．a γ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且m ∥βC ．m ∥β且l m ⊥D ．α∥β且αγ⊥ 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－17．椭圆33cos ,15sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩的两个焦点的坐标是A ．(3,5)-，(3,3)--B ．(3,3)，(3,5)-C ．(1,1)，(7,1)-D ．(7,1)-，(1,1)--8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα- D ．22πα--9．将边长为a 的正方形A B C D 沿对角线A C 折起，使得B D a =，则三棱锥D A B C -的体积为A ．36aB ．312aC12D．31210．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则lim n n S →∞等于A ．23B ．23-C ．2D ．2-11．椭圆的极坐标方程为32cos ρθ=-，则它的短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0)，(1,)πB．)2π，3)2πC ．(2,)3π，5(2,)3π D．arctan2，2arctan2π-12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．26013．设双曲线22221(0)x y a b ab-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点，已知原点到直线l4，则双曲线的离心率为A ．2 B． CD．314．母线长为1，的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于A．3B．3C． D315．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-第Ⅱ卷（非选择题共85分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．已知圆22670x y x +-+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p ＝ ． 17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．18．tan 20tan 4020tan 40++的值是 ．19．如图，正方形A B C D 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线A D 与B F 所成角的余弦值是 ．ABDCFE三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）解不等式1log (1)1a x ->．21．（本小题满分11分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：2A C B +=，11cos cos cos ACB+=-，求cos2A C -的值．22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （1）求证：1BE EB =；（2）若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（1）的完整证明，交解答（2）．（右下图）（1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG A C ⊥，G 是垂足． ①∵∴E G ⊥侧面1AC ，取A C 的中点F ，连结B F ，F G ，由A B B C =得BF AC ⊥， ②∵∴B F ⊥侧面1AC ，得B F ∥F G ，B F 、F G 确定一个平面，交侧面1AC 于F G ． ③∵ ∴B E ∥F G ，四边形B E G F 是平行四边形，B E F G =， ④∵ ∴F G ∥1A A ，△1AA C ∽△F G C ，⑤∵ ∴111122F G A A B B ==，即112B E B B =，故1BE EB =23．（本小题满分12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人A 1ACB1C 1EA 1 A CB B 1C 1EF G均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ （粮食单产＝总产量耕地面积，人均粮食占有量＝总产量总人口数24．（本小题满分12分）已知1l 、2l 是过点(0)P 的两条互相垂直的直线，且1l 、2l 与双曲线221y x -=各有两个交点，分别为1A 、1B 和2A 、2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若1122|||A B A B =，求1l 、2l 的方程．25．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 是实数，函数2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+，当11x -≤≤时，|()|1f x ≤．（1）证明：||1c ≤；（2）证明：当11x -≤≤时，|()|2g x ≤；（3）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13．14．15．16．三、解答题 17．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A (6)D (7)B (8)A (9)D (10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（16）2 （17）32（18）3（19）42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．解：(Ⅰ)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a x x——2分由此得xa 11>-．因为1－a <0，所以x <0，∴.011<<-x a——5分 (Ⅱ)当0<a <1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.11,011a x x由①得，x >1或x <0，由②得，,110a x -<<∴ax -<<111 ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111 ——11分(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分． 解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°． ——2分 ∵,2260cos 2-=-∴22cos 1cos 1-=+CA将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2C A C A C A C A -++-=-+ ——6分将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A代入上式得)cos(222)2cos(C A C A --=- 将1)2(cos 2)cos(2--=-C A C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分,0)32cos22)(22cos2(=+---C A C A∵,032cos22≠+-C A ∴.022cos2=--C A 从而得.222cos=-C A ——12分解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°． 设αα2,2=--=C A C A 则，可得α+= 60A ，α-=60C——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+CAααααs23c211s23c211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα ——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα，∵21cos =B ∴2243cos cos 2-=-αα整理得,023cos 2cos 242=-+αα——9分,0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos=-C A ． ——12分(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) ①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1， ——2分②∵面ABC ⊥侧面AC 1， ——3分 ③∵BE ∥侧面AC 1， ——4分 ④∵BE ∥AA 1， ——5分 ⑤∵AF =FC ， ——6分(Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ．∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A ——9分∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ， 所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角． ——11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C =90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45° ——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P x M ——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x——7分∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯)]01.001.01(22.11.11[1022101103+⨯+⨯+⨯-⨯=C C]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈1.4≈ —— 9分∴x ≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 (24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P )0,2(-且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为).13(4)12)(1(4)22(2121212211-=---=∆k k k k设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ④ 同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1．——4分于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ——7分(Ⅱ)设),(),,(221111y x B y x A 由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x∴│A 1B 1│2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)222121))(1(x x k -+=2212121)1()13)(1(4--+=kk k ⑤ ——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=⑥由22115B A B A =，得2222115B A B A =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k kk k --+⨯=--+解得21±=k取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ．——12分(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x =0得│c │=│f (0)│≤1，即│c │≤1． ——2分(Ⅱ)证法一：当a >0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是增函数，∴g (－1)≤g (x )≤g (1)， ∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤│f (1)│+│c │≤2， g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(│f (－1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2; ——5分 当a <0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是减函数，∴g (－1)≥g (x )≥g (1)， ∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≤│f (－1)│+│c │≤2， g (1)=a +b =f (1)－c ≥－(│f (1)│+│c │)≥－2，由此得│g (x )│≤2; ——7分 当a =0时，g (x )=b ，f (x )=bx +c ．∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2．综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得b ax x g +=)()2121(])21()21[(22--++--+=x x b x x a])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++=),21()21(--+=x f x f ——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f即│g (x )│≤2． ——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2，即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2． ①∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1，∴c =f (0)=－1． ——10分 因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得0,02==-b ab 即由① 得a =2．所以 f (x )=2x 2－1． ——12分。

(详细解析)1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

(详细解析)1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集I N =，集合{}{}2,,4,A x x n n N B x x n n N ==∈==∈||，则 A ．B A I = B ．B A I = C ．B A I = D ．B A I = 【答案】C【解析】由于B A Þ，所以AB I =．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ．4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π==+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-． 7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】消去参数可得直角坐标方程22(1)(3)1259y x +-+=，故焦点坐标是(3,3),(3,5)-．8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα-D ．22πα--【答案】A【解析】解法一：由于已知sin 0,cos()02παα>+<，原式arcsin(sin )arccos(sin )arccos(sin )αααπααπ=-+-=-+-=-+arccos[cos()]()222πππααπα--=-+--=．解法二：当1x ≤时arcsin arccos 2x x π+=，而1sin 0α-<-<，∴原式arcsin(sin )arccos(sin )2παα=-+-=．9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，22AC BO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以231132212D ABC V a -=⋅⋅=．10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．23- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】显然1q ≠，由3231510=S S 得10151(1)31(1)32a q a q -=-，则105323110q q --=，解得 5132q =-，得12q =-，所以12lim 13n n a S q →∞==--．11．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0),(1,)π B．3)22ππ C ．5(2,),(2,)33ππD ．（2arctg )22π- 【答案】C【解析】将极坐标方程为θρcos 23-=化为直角坐标方程22(1)143x y -+=，在短轴上的两个顶点的直角坐标是，所以极坐标是5(2,),(2,)33ππ．12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．13．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4c =，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或e =0a b <<，所以e ==>，所以3e =不合题意．14．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 A ．π322 B ．π332 C ．π2 D ．π362 【答案】D15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ． 【答案】2【解析】圆的标准方程为22(3)16x y -+=，圆心和半径分别为(3,0),4，所以4312p=-=，则2p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，,,BF BC a FC =====，222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分11分）解不等式1)11(log >-xa ．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为10a -<，所以0x <，∴101x a<<-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：110,11.xa x⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩——7分由①得，1x >或0x <， 由②得，101x a <<-，∴ax -<<111． ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111． ——11分 21．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 【解】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知60,120B A C =+=． ——2分∵cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分 将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得cos)22A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos3)022A C A C ---+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos2A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα-+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos=-C A ． ——12分22．（本小题满分12分）如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （Ⅰ）求证：1BE EB =；（Ⅱ）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）． （Ⅰ）证明：（如图2）在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．① ∵ ，∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连结,BF FG ，由AB BC = 得BF AC ⊥．② ∵ ，∴BF ⊥侧面1AC ；得//,,BF EG BF EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ．③ ∵ ，∴//BE FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE FG =． ④ ∵ ，∴11//,FG AA AAC FGC ∆∆，⑤ ∵ ，∴112121BB AA FG ==，即112BE BB =，故1BE EB =． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）①面1A EC ⊥侧面1AC ， ——2分②面ABC ⊥侧面1AC ， ——3分 ③//BE 侧面1AC ， ——4分 ④1//BE AA ， ——5分 ⑤//AF FC ， ——6分 （Ⅱ）分别延长11,CE C B 交于点D ，连结1A D ．∵1111111//,22EB CC EB BB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵11111160B AC C B A ∠=∠=︒，1111111(180)302DA B A DB DB A ∠=∠=︒-∠=︒，∴111111190DAC DA B B AC ∠=∠+∠=︒， 即111DA AC ⊥． ——9分∵1CC ⊥面111AC B ，即11A C 是1A C 在平面11AC D 上的射影， 根据三垂线定理得11DA A C ⊥，所以11CAC ∠是所求二面角的平面角． ——11分 ∵11111111,90CC AA A B AC AC C ===∠=︒，∴1145CA C ∠=，即所求二面角为45． ——12分 23．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 24．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1122A B B =，求12,l l 的方程．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（I ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）设),(),,(221111y x B y x A ．由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ． ∴22222111212112()()(1)()A B x x y y k x x =-+-=+-22112214(1)(31)(1)k k k +-=-． ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+= ⑥ 由22115B A B A =，得2211225A B A B =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+，解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分25．（本小题满分12分）已知,,a b c 是实数，函数2(),()f x ax bx c g x ax b =++=+，当11x -≤≤时，()1f x ≤． （Ⅰ）证明：1c ≤；（Ⅱ）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（Ⅲ）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．【解】本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由条件当11x -≤≤时，()1f x ≤，取0x =得(0)1c f =≤，即1c ≤．——2分（Ⅱ）证法一：当0a >时，()g x ax b =+在[1,1]-上是增函数，∴(1)(0)(1)g g g -≤≤，∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c =+=-≤+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c -=-+=--+≥--+≥-，由此得()2g x ≤． ——5分 当0a <时，()g x ax b =+在[1,1]-上是减函数，∴(1)(0)(1)g g g -≥≥， ∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c -=-+=--+≤-+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c =+=-≥-+≥-，由此得()2g x ≤； ——7分当0a =时，(),()g x b f x bx c ==+．∵11x -≤≤，∴()(1)(1)2g x f c f c =-≤+≤．综上得()2g x ≤． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得221111()[()()]()2222x x x x g x ax b a b +-+-=+=-+- ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= 11()()22x x f f +-=-， ——6分当11x -≤≤时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f ，即()2g x ≤． ——8分 （Ⅲ）因为0a >，()g x 在[1,1]-上是增函数，当1x =时取得最大值2，即(1)(1)(0)2g a b f f =+=-=． ①∵1(0)(1)2121f f -≤=-≤-=-，∴(0)1c f ==-． ——10分 因为当11x -≤≤时，()1f x ≥-，即()(0)f x f ≥，根据二次函数的性质，直线0x =为()f x 的图像的对称轴，由此得02ba-=，即0b =．由①得2a =．所以 2()21f x x =-． ——12分。

一九九六年高考数学试卷

一九九六年高考数学试卷

1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. √-1C. 3.14D. π2. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，那么f(x)的图像是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线开口向下C. 双曲线D. 直线3. 若a、b是方程x² - 3x + 2 = 0的两根，则a + b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，an = 2an-1，则S5的值为（）A. 31B. 32C. 33D. 346. 若log2x + log4x = 3，则x的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 167. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为（）A. 27B. 30C. 33D. 368. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,2)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1,2.5)B. (1,3)C. (3,2)D. (3,2.5)9. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的几何意义是（）A. z在复平面上的实部为0B. z在复平面上的虚部为0C. z在复平面上的模为1D. z在复平面上的辐角为90°10. 若函数f(x) = ax² + bx + c在x = 1时取得极值，则a、b、c的关系是（）A. a ≠ 0，b = 0B. a ≠ 0，b ≠ 0C. a = 0，b ≠ 0D. a = 0，b = 011. 若等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则第5项an的值为（）A. 48B. 96C. 192D. 38412. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°，则△ABC的周长为（）A. 2√3B. 2√2C. 2√5D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 若log3(2x - 1) = 2，则x的值为______。

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学理

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学理

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 已知全集I =N ，集合A ={x │x =2n ，n ∈N }，B ={x │x =4n ，n ∈N }，则 ( )(A) B A I =(B)B A I =(C) B A I =(D) B A I =(2) 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a －x与y =log a x 的图像( )(3) 若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是 ( )(A) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ(B) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ(C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ(D) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ(4) 复数54)31()22(i i -+等于 ( )(A) i 31+ (B) i 31+- (C) i 31- (D) i 31--(5) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l l ,γβ =∥m m 和αα⊂,,⊥γ，那么必有( )(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m(D)α∥β且α⊥γ(6) 当x x x f x cos 3sin )(,22+=≤≤-函数时ππ的( )(A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－21(C) 最大值是2，最小值是－2 (D) 最大值是2，最小值是－1(7) 椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是( )(A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1)(D) (7，－1)，(－1，－1))](arccos[sin )]2(arcsin[cos ,20)8(απαππα+++<<则若等于( ) (A)2π(B) －2π(C)2π－2α (D) －2π－2α(9) 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )(A)63a(B)123a(C)3123a(D)3122a(10) 等比数列{}n a 的首项a 1=－1，前n 项和为S n ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于( )(A) 32 (B) －32(C) 2 (D) －2(11) 椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是( )(A) (3，0)，(1，π) (B) (3，2π)，(3，23π)(C) (2，3π)，(2，35π)(D) (7，23arctg)，(7，23arctg -2π)(12) 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )(A) 130 (B) 170 (C) 210 (D) 260(13) 设双曲线)0(12222b a by ax <<=-的半焦距为c ,直线l 过),0)(0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( )(A) 2(B) 3 (C) 2 (D)332 (14) 母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 ( )(A)π322 (B)π332 (C) π2 (D)π362(15) 设f (x )是(－∞，+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7.5) 等于( )(A) 0.5(B) －0.5(C) 1.5(D) －1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则P= (17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）(18)40tg 20tg 340tg 20tg ++的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log >-x a ．(21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：BCAB C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求2cos C A -的值．22．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足． ① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF ⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ． ③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ， ④ ∵ ∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ， ⑤ ∵ ∴112121BB AA FG ==，即11,21EB BE BB BE ==故23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）24．已知l 1、l 2是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若12211,5l B A B A 求=、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1．(Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D(4)B(5)A(6)D(7)B(8)A(9)D(10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（16）2 （17）32 （18）3 （19）42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．解：(Ⅰ)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a x x ——2分由此得xa 11>-．因为1－a <0，所以x <0， ∴.011<<-x a——5分(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.11,011a xx由①得，x >1或x<0， 由②得，,110ax -<<∴ax -<<111——10分综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111 ——11分(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°． ——2分∵,2260cos 2-=-∴22cos 1cos 1-=+CA将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2C A C A C A C A -++-=-+ ——6分将21)cos(,2160cos 2cos -=+==+C A C A代入上式得)cos(222)2cos(C A C A --=- 将1)2(cos 2)cos(2--=-C A C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-C A C A ——9分,0)32cos 22)(22cos2(=+---CA C A∵,032cos 22≠+-C A ∴.022cos2=--CA从而得.222cos=-C A ——12分解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°． 设αα2,2=--=C A C A 则，可得α+=60A ，α-=60C——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+CAααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα ——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα，∵21cos =B∴2243cos cos 2-=-αα整理得,023cos 2cos 242=-+αα——9分,0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα∵03cos 22≠+α， ∴02cos 2=-α．从而得222cos =-C A ． ——12分(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) ①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1，——2分 ②∵面ABC ⊥侧面AC 1， ——3分 ③∵BE ∥侧面AC 1， ——4分 ④∵BE ∥AA 1，——5分⑤∵AF =FC ，——6分(Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ． ∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°， ∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A——9分∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ， 所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角． ——11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C =90°， ∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P x M ——5分化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ——7分∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯)]01.001.01(22.11.11[1022101103+⨯+⨯+⨯-⨯=C C ]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈1.4≈ —— 9分∴x ≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．——10分(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P )0,2(-且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为).13(4)12)(1(4)22(2121212211-=---=∆k k k k设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1．——4分于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ——7分(Ⅱ)设),(),,(221111y x B y x A 由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x∴│A 1B 1│2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)222121))(1(x x k -+= 2212121)1()13)(1(4--+=kk k ⑤——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=⑥由22115B A B A =，得2222115B A B A =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+解得21±=k取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ；取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x =0得 │c │=│f (0)│≤1， 即│c │≤1． ——2分(Ⅱ)证法一：当a >0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是增函数， ∴g (－1)≤g (x )≤g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1， ∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤│f (1)│+│c │≤2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(│f (－1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——5分当a <0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是减函数， ∴g (－1)≥g (x )≥g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≤│f (－1)│+│c │≤2， g (1)=a +b =f (1)－c ≥－(│f (1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——7分当a =0时，g (x )=b ，f (x )=bx +c ． ∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2． 综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二： 由4)1()1(22--+=x x x ，可得b ax x g +=)( )2121(])21()21[(22--++--+=x x b x x a])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++=),21()21(--+=x f x f ——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f即│g (x )│≤2．——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2， 即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2． ① ∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1， ∴c =f (0)=－1．——10分因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得0,02==-b ab 即由① 得a =2． 所以 f (x )=2x 2－1． ——12分。

1996年高考数学试题(全国文)及答案

1996年高考数学试题(全国文)及答案

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的(1)设全集I ={1，2，3，4，5，6，7}，集合A ={1，3，5，7}，B ={3，5}．则()(A)I =A ∪B ；(B)I =A ∪B ；(C)I =A ∪B ；(D)A ∪B 。

(2)当a >1时，在同坐标系中．函数y =a －x与y =log a x 的图像是()(3)若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是()(A)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<−Z k k x k x ,412432ππππ；(B)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ；(C)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<−Z k k x k x ,4141ππππ；(D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ。

(4)复数54)31()22i i −+（等于()(A)i 31+；(B)i 31+−；(C)i 31−；(D)i 31−−。

(5)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()(A)720种；(B)360种；(C)240种；(D)120种。

(6)已知α是第三象限角sin α=－2524，则tg 2α=()(A)34；(B)43；(C)－43；(D)－34。

(7)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l =β∩γ，l ∥α，m =α，m ⊥γ，那么必有()(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β(C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8)当－2π≤x ≤2π时，函数f (x )=sin x ＋3cos x 的()(A)最大值是1，最小值是－1；(B)最大值是1，最小值是－21；(C)最大值是2，最小值是－2；(D)最大值是2，最小值是－1。

一九九六年的高考数学试卷

一九九六年的高考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把所选项前的字母填在答题卡上。

）1. 已知函数 \( f(x) = 2x + 1 \)，则 \( f(-1) \) 的值为：A. 1B. 0C. -1D. -22. 在三角形ABC中，若 \( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，则 \( \angle C \) 的度数为：A. 75^\circB. 105^\circC. 120^\circD. 135^\circ3. 下列各数中，有理数是：A. \( \sqrt{2} \)B. \( \pi \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \sqrt[3]{-8} \)4. 下列方程中，无解的是：A. \( 2x + 3 = 7 \)B. \( 3x - 5 = 0 \)C. \( 4x + 2 = 2 \)D. \( 5x - 3 = 0 \)5. 已知 \( a + b = 5 \)，\( ab = 6 \)，则 \( a^2 + b^2 \) 的值为：B. 21C. 25D. 296. 下列命题中，正确的是：A. 若 \( a > b \)，则 \( a^2 > b^2 \)B. 若 \( a > b \)，则 \( a^3 > b^3 \)C. 若 \( a > b \)，则 \( a^2 > b^2 \)D. 若 \( a > b \)，则 \( a^3 > b^3 \)7. 已知 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，则 \( x^2 - 2x + 1 \) 的值为：A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列函数中，单调递减的是：A. \( y = 2x + 3 \)B. \( y = 3x - 2 \)C. \( y = -2x + 1 \)D. \( y = -3x + 2 \)9. 已知 \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \tan \alpha \) 的值为：A. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)B. \( \sqrt{3} \)C. 110. 下列数列中，是等差数列的是：A. 1, 4, 7, 10, ...B. 1, 3, 6, 10, ...C. 1, 2, 4, 8, ...D. 1, 3, 5, 7, ...二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1996年全国Ⅱ高考数学试题(文)

1996年全国Ⅱ高考数学试题(文)

1996年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7I =，集合{}1,3,5,7A =，{}3,5B =，则A ．I AB =B ．I A B =C ．I A B =D ．I A B =2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与logy x =的图像是3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是A ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C ．22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭44等于A ．1B ．1-C ．1D ．1-5．6名同学排成一排，其中甲、乙两必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种6．已知α是第三象限角，24sin 25α=-，则tan 2α＝ A ．43B ．34 C ．34- D ．43-7．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ= ，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有A ．a γ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且m ∥βC ．m ∥β且l m ⊥D ．α∥β且αγ⊥8．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－18．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2π B ．2π-C ．22πα- D ．22πα--9．中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为12的椭圆方程是 A ．22143x y += B ．22134x y += C ．2214x y += D ．2214y x += 10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，该圆锥的体积A B ．881π C D ．1081π11．椭圆222515091890x x y y -+++=的两个焦点坐标是A ．(3,5)-，(3,3)--B ．(3,3)，(3,5)-C ．(1,1)，(7,1)-D ．(7,1)-，(1,1)--12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．36aB ．312aCD13．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．26014．设双曲线22221(0)x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点，已知原点到直线l，则双曲线的离心率为 A ．2BCD15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-第Ⅱ卷（非选择题共85分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．已知点(2,3)-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p ＝ ．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．18．tan 20tan 4020tan 40+的值是 ． 19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．ABDCF EA 1AC BB 1C 1E F20．（本小题满分11分）解不等式log (1)1a x a +->．21．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若3692S S S +=，求数列的公比q ． 22．（本小题满分11分）已知△ABC 的三个内角A、B 、C 满足：2A C B +=，11cos cos cos A C B+=-，求cos 2A C -的值． 23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（1）证明的全过程，并解答（2）．】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB a ==，E ，F 分别是1BB ，1CC 上的点，且BE a =，2CF a =．（1）求证：面AEF ⊥面ACF ； （2）求三棱锥1A AEF -的体积．（1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．①∵BE a =，2CF a =，BE ∥CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ．∴△DBE ∽△DCF ∴DB BEDE CF= ② ∴DB AB =．③ ∴DA AC ⊥④ ∴FA AD ⊥⑤ ∴面AEF ⊥面ACF ．24．（本小题满分12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？A 1AC BB 1C 1E FD（粮食单产＝总产量耕地面积，人均粮食占有量＝总产量总人口数25．（本小题满分12分）已知1l 、2l 是过点(P 的两条互相垂直的直线，且1l 、2l 与双曲线221y x -=各有两个交点，分别为1A 、1B 和2A 、2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若1A 恰 是双曲线的一个顶点，求22||A B 的值．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．答指出了每题要考查主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B (5)C (6)D (7)A (8)D (9)A (10)C (11)B (12)D (13)C (14)A (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4 (17)32 (18)3 (19)42 三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分． 解：（Ⅰ）当a >1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得 x >2a －1． (Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<-+>-+.101a a x a x 解得 a －1<x <2a －1综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >2a －1};当0<a <1时，不等式的解集为{x |a －1<x <2a －1}．(21)本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．解：若q =1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1．但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，q ≠1．又依题意S 3＋S 6=2S 9可得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131整理得q 3(2q 6－q 3－1)=0． 由q ≠0得方程 2q 6－q 3－1=0．(2q 3＋1)(q 3－1)=0， ∵ q ≠1，q 3－1≠0，∴ 2q 3＋1=0∴ q =－243(22)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分． 解法一：由题设条件知B =60º，A ＋C =120º．∵ －︒60cos 2=－22∴ C A cos 1cos 1+=－22 将上式化为 cos A ＋cos C =－22 cos A cos C利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos2C A +cos 2CA -=－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)] 将cos 2)(C A +=cos60º=21，cos(A +C )= 21代入上式得cos 2)(C A -=22－2cos(A －C)cos(A －C)=2cos 22)(C A -－1代入上式并整理得42cos 22)(C A -＋2cos 2)(C A -－32=0，(2cos2C A -－2)(22cos 2CA -＋3)=0． ∵ 22cos 2C A -＋3≠0，∴ 2cos 2C A -－2=0，∴ cos 2C A -=22．解法二：由题设条件知 B=60º，A ＋C =120º．设α=2C A - 则2C A -=2α，可得A=60º＋α，C=60º－α 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1o o αα-++=+C A =ααsin 23cos 211-＋ααsin 23cos 211+=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-αα依题得B cos 243cos cos 2-=-α，∵ cos B =21，∴ 2243cos cos 2-=-αα． 整理得42cos 2α＋2cos α－32=0， (2cos α－2)(22cos α＋3)=0，∵ 22cos α＋3≠0，∴ 2cos α－2=0从而得cos 222=-C A ． (23)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分．(Ⅰ)②∵BE :CF =1:2 ∴ DC =2BD ，∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形，且∠ABD =120º，∴∠BAD =30º，∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ， ∴CA 是F A 在面ACD 上射影，且CA ⊥AD ， ⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ，DA ⊂面ADF ⑥∴面ADF ⊥面ACF ． (Ⅱ)解： ∵ F AA E AEF A V V 11--=．在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ．B 1G=23a 面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ∵ B 1G ⊥面A 1 C ，∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ，∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a F AA S 1∆=AA 1·2AC =232a ∴43311a V V F AA E AEF A ==-- (24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公项，又设该地区现有人口为p 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式()()()()%10110%111010%2214104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P xM化简得x ≤103×[1－22.1)01.01(1.110+⨯]．∵ ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯22.101.011.1110103=103×[1－22.11.1×(1＋110C ×0.01＋210C ×0.012＋…)] ≈103×[1－22.11.1×1.1045]≈4.1 9分∴ x ≤4(公顷)答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：依题设：l 1、l 2都存在，因为l 1过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k 1(x ＋2)(k 1≠0)，y 2－x 2=1 ①有两个不同的解，在方程组①中消去y ，整理得(21k －1)x 2＋2221k x ＋221k －1=0 ② 若(21k －1)=0，则方程①只有一个解，则l 1与以曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故(21k －1) ≠0，即|k 1|≠1．方程②的判别式为 △ 1=(2221k )2－4(21k －1)(221k －1)=4(321k －1)设l 2的斜率k 2，因为l 2过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k 2(x ＋2)(k 2≠0)，y 2－x 2=1 ③有两个不同的解，在方程组③中消去y ，整理得(22k －1)x 2＋2222k x ＋222k －1=0 ④ 同理有(22k －1) ≠0，△2=4(322k －1) 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1 于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于 321k －1>0， 322k －1>0， k 1·k 2=－1， |k 1|≠1． 解得3||331<<k ， |k 1| ≠1．∴ k 1∈(－3，－1) ∪(－1，－33)∪(33，1)∪(1，3) (Ⅱ)双曲线y 2－x 2=1的顶点(0，1)、(0，－1)．取A 1(0，1)时，有 k 1(0＋2)=1，解得k 1=22．从而k 2=11k -=－2． 将k 2=－2代入方程④得 x 2＋42x ＋3=0 ⑤记l 2与双曲线的两交点为A 2(x 1，y 1)、B 2(x 2，y 2)，则|A2B2|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=3(x1－x2)2=3[(x1＋x2)2－4x1x2]．由⑤知x1＋x2=－42x1x2=3∴| A2 B2|2=60，| A2 B2|=215当取A1(0，－1)时，由双曲线y2－x2=1关于x轴的对称性，知| A2 B2|=215所以l1过双曲线的一个顶点时，|A2 B2|=215。

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.文)

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1996年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学第I卷一、选择题:本大题共15小题;第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I=｛1,2,3,4,5,6,7｝,集合A=｛1,3,5,7｝,B=｛3,5｝.则(2)当a>1时,在同一坐标系中.函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(C)最大值是2,最小值是-2 (D)最大值是2,最小值是-1(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积是(11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3),(3,-5)(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为(13)等差数列｛a n｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170(C)210 (D)260(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7,5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

(16)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有个.(用数字作答)(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 .三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（20）（本小题满分11分）解不等式log a(x+1-a)>1.（21）（本小题满分12分）设等比数列｛a n｝的前n项和为S n.若S3+S6=2S9,求数列的公比q.（22）（本小题满分12分）（23）（本小题满分12分）【注意:本题的要求是,参照标号①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ).】(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.(Ⅰ)证明:①∵BE=a,CF=2a,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD.∴△DBE∽△DCF③∴DB=AB.④∴DA⊥AC.⑤∴FA⊥AD.∴面AEF⊥面ACF.（24）（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?（25）（本小题满分12分）各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围;(Ⅱ)若A1恰是双曲线的一个顶点,求│A2B2│的值.。

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)

一九九六年（文科）一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.则 （ C ） （A ）B A I ⋃= （B ）B A I ⋃= （C ）B A I ⋃= （D ）B A I ⋃=（2）当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是 （ A ）（3）若xx 22cos sin >，则x 的取值范围是 （ D ）（A ）},412432|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（B ）},452412|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（C ）},4141|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（D ）},4341|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（4）复数54)31()22(i i -+等于 （ B ）（A ）i 31+ （B ）i 31+- （C ）i 31- （D ）i 31--（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 （ C ） （A ）720种 （B ）360种 （C ）240种 （D ）120种(A) y (B) y (C) y (D) yo 1 x o 1 x o 1 x o 1 x（6）已知α是第三象限角且2524sin -=α，则=α2tg （ D ）（A ）34 （B ）43 （C ）43- （D ）34-（7）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：α⊂αγ⋂β=m l l ,//,和γ⊥m ，那么必有 （ A ） （A ）γ⊥α且m l ⊥ （B ）γ⊥α且β//m （C ）β//m 且m l ⊥ （D ）βα//且γ⊥α（8）当22π≤≤π-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ D ） （A ）最大值是1，最小值是-1 （B ）最大值是1，最小值是21- （C ）最大值是2，最小值是-2 （D ）最大值是2，最小值是-1（9）中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是（A ）13422=+y x （B ）14322=+y x （ A ）（C ）1422=+y x （D ）1422=+y x（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体积是 （ C ） （A ）π8122 （B ）π818 （C ）π8154 （D ）π8110（11）椭圆091891502522=+++-y y x x 的两个焦点坐标是 （ B ） （A ）（-3，5），（-3，-5） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）（12）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为 （ D ）（A ）63a （B ）123a （C ）3123a （D ）3122a（13）等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ C ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260（14）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。

1996年全国高考数学试题

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一九九六年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集I=N ，集合},2|{N n n x x A ∈==，},4|{N n n x x B ∈==。

则 （ C ）（A ）B A I ⋃= （B ）B A I ⋃= （C ）B A I ⋃= （D ）B A I ⋃=（2）当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是 （ A ）（3）若x x 22cos sin >，则x 的取值范围是 （ D ）（A ）},412432|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（B ）},452412|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（C ）},4141|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（D ）},4341|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（4）复数54)31()22(i i -+等于 （ B ）（A ）i 31+ （B ）i 31+- （C ）i 31- （D ）i 31--（5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：α⊂αγ⋂β=m l l ,//,和γ⊥m ，那么必有 （ A ）(A) y (B) y (C) y (D) yx（A ）γ⊥α且m l ⊥ （B ）γ⊥α且β//m （C ）β//m 且m l ⊥ （D ）βα//且γ⊥α（6）当22π≤≤π-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ D ） （A ）最大值是1，最小值是-1 （B ）最大值是1，最小值是21- （C ）最大值是2，最小值是-2 （D ）最大值是2，最小值是-1 （7）椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=.sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是 （ B ）（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）（8）若20π<α<，则)](arccos[sin )]2(arcsin[cos α+π+α+π等于 （ A ） （A ）2π （B ）2π- （C ）α-π22 （D ）α-π-22（9）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为 （ D ）（A ）63a （B ）123a （C ）3123a （D ）3122a（10）等比数列}{n a 的首项11-=a ，前n 项和为n S ，若3231510=S S ，则nn S ∞→lim 等于 （ B ） （A ）32 （B ）32- （C ）2 （D ）-2 （11）椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）（A ）（3，0），（1，π） （B ）（2,3π），（23,3π） （C ）（2，3π），（2，35π） （D ）（23,7arctg ），（232,7arctg -π）（12）等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ C ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260（13）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。

1996年全国高考数学试题（理科、文科）及答案

1996年全国高考数学试题（理科、文科）及答案

一九九六年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集I=N ，集合},2|{N n n x x A ∈==，},4|{N n n x x B ∈==。

则 （ C ） （A ）B A I⋃= （B ）B A I ⋃= （C ）B A I ⋃= （D ）B A I ⋃=（2）当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是 （ A ）（3）若x x 22cos sin >，则x 的取值范围是 （ D ）（A ）},412432|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（B ）},452412|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（C ）},4141|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（D ）},4341|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（4）复数54)31()22(i i -+等于 （ B ）（A ）i 31+ （B ）i 31+- （C ）i 31- （D ）i 31--（5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：α⊂αγ⋂β=m l l ,//,和γ⊥m ，那么必有 （ A ）(A) y (B) y (C) y (D) yx（A ）γ⊥α且m l ⊥ （B ）γ⊥α且β//m （C ）β//m 且m l ⊥ （D ）βα//且γ⊥α（6）当22π≤≤π-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ D ） （A ）最大值是1，最小值是-1 （B ）最大值是1，最小值是21- （C ）最大值是2，最小值是-2 （D ）最大值是2，最小值是-1 （7）椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=.sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是 （ B ）（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）（8）若20π<α<，则)](arccos[sin )]2(arcsin[cos α+π+α+π等于 （ A ） （A ）2π （B ）2π- （C ）α-π22（D ）α-π-22（9）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为 （ D ）（A ）63a （B ）123a （C ）3123a （D ）3122a（10）等比数列}{n a 的首项11-=a ，前n 项和为n S ，若3231510=S S ，则n n S ∞→lim 等于 （ B ） （A ）32 （B ）32- （C ）2 （D ）-2 （11）椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）（A ）（3，0），（1，π） （B ）（2,3π），（23,3π） （C ）（2，3π），（2，35π） （D ）（23,7a r c t g ），（232,7a r c t g -π） （12）等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ C ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260（13）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。

1996年全国高考数学(理科)试题

1996年全国高考数学(理科)试题

1996年全国统一高考数学试卷（理科数学）一、选择题： 本大题共15小题:第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集I N =，集合{}2,A x x n n N ==∈，{}4,B x x n n N ==∈，则 A.I A B = B.()I I C A B = C.()I I A C B = D.()()I I I C A C B =2.当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象3．若22sin cos x x>，则x 的取值范围是A. 322,44x k x k k z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B. 522,44x k x k k z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C. ,44x k x k k z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D. 3,44x k x k k z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭44等于 A.1+ B. 1-+ C. 1- D. 1- 5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ=，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有A.αγ⊥且l m ⊥B.αγ⊥且m ∥βC.m ∥β且l m ⊥D.α∥β且αγ⊥ 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的A. 最大值是1,最小值是1-B. 最大值是1,最小值是12-C. 最大值是2,最小值是2-D. 最大值是2,最小值是1-7.椭圆33cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）的两个焦点坐标是A.(3,5)-,(3,3)-B. (3,3),(3,5)-C. (1,1),(7,1)-D. (7,1),(1,1)-- 8.若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于 A.2πB. 2π-C. 22πα-D. 22πα--9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A.36aB. 312aC. 312D. 31210．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =,则lim n n S →∞等于A.23 B . 23- C. 2 D. 2- 11．椭圆的极坐标方程为32cos ρθ=-，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A.(3,0),(1,)πB.(3,)2π,3)2πC.(2,)3π,5(2,)3πD. )2,2arctan )2π- 12.等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A.130 B. 170 C. 210 D. 26013.设双曲线22221x y a b-=（0a b <<）的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线l的距离为4，则双曲线的离心率为 A.214.母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于A.315.设()f x 是(,)-∞∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =， 则(7.5)f 等于A. 0.5B. 0.5-C. 1.5D. 1.5- 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =__ . 17.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．18.求值：tan 20tan 403tan 20tan 40++=_______ ．19.如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ____ ． 三、解答题：本大题共6小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20.（本小题满分11分）解不等式1log (1)1a x ->．21.（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：2A C B +=,11cos cos cos A C B+=-，求cos2A C-的值． 22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 在1BB 上， 截面1A EC ⊥侧面11AAC C ．（1）求证：1BE EB =；注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（1）的完整证明，并解答（2）． （1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG A C ⊥，G 是垂足． ①∵ _________ABCD E FABCEA 1B 1C 1∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连接,BF FG ，由AB BC =,得BF AC ⊥， ②∵ _________∴BF ⊥侧面1AC ；得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ． ③∵ _________∴BE ∥FG ，四边形BEFG 是平行四边形，BE FG =， ④∵ _________∴FG ∥1AA ，1AA C ∆∽FGC ∆，⑤∵ _________∴111122FG AA BB ==，112BE BB =,故1BE EB =（2）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 23.（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数） 24.（本小题满分12分）已知1l ,2l 是过点(P 的两条互相垂直的直线，且1l ,2l 与双曲线221y x -=,各有两个交点，分别为1A ,1B 和2A ,2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若1122A B B =，求1l ,2l 的方程． 25．（本小题满分12分）已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+，当11x -≤≤时，()1f x ≤. （1）证明：1c ≤；（2）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（3）设0a >,当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x .。

【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试.文科数学试题及答案

【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试.文科数学试题及答案

【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项:1.答案Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I=｛1,2,3,4,5,6,7｝,集合A=｛1,3,5,7｝,B=｛3,5｝.则(A)I=A∪B(B)I=∪B(C)I=A∪(D)I=∪(2)当a>1时,在同一坐标系中.函数y=a-x与y=logax的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(A){x|2kπ-3π/4<x<2kπ+π/4,k∈Z}(B){x|2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4,k∈Z}(C){x|kπ-π/4<x<kπ+π/4,k∈Z}(D){x|kπ+3π/4<x<kπ+3π/4,k∈Z}(4)复数(2+2i)4/(1-i)5等于(A)1+i (B)-1+i (C)1-i (D)-1-i(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种(6)已知α是第三象限角且sinα=-24/25,则tgα=(A)4/3 (B)3/4 (C)-3/4 (D)-4/3(7)如果直线l、m 与平面α、β、γ满足l=β∩γ，l∥α，m =α，m⊥γ，那么必有(A)α⊥γ且l⊥m(B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8)当-π/2≤x≤π/2时，函数f(x)＝sinx+cosx的(A)最大值是1,最小值是-1 (B)最大值是1,最小值是-1/2(C)最大值是2,最小值是-2 (D)最大值是2,最小值是-1(9)中心在原点，准线方程为x=±4，离心率为1/2的椭圆方程是(A)x2/4+y2/3=1 (B)x2/3+y2/4=1(C)x2/4+y2=1 (D)x2+y2/4=1(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积是(A)2π/81 (B)4π/81 (C)10π/81 (D)8π/81(11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3),(3,-5)(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为(A)a3/6 (B)a3/12 (C)a3/12 (D)a3/12(13)等差数列｛an｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(14)设双曲线x2/a2+y2/b2=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c/4，则双曲线的离心率为(A)2 (B)(C)(D)2/3(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7,5)等于(A)0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项:1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(16)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=______.(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有______个.(用数字作答)(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是______ .三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本小题满分11分) 解不等式loga(x+1-a)>1.21)(本小题满分12分)设等比数列｛an ｝的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9 ，求数列的公比q.(22)(本小题满分11分)已知三角形ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,1/cosA+1/cosC=－/cosB,求cos{(A-C)/2}.(23)(本小题满分12分)【注意:本题的要求是,参照标号①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ).】如图：在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB=AA1/3=a,E,F分别是BB1,CC1上的点,且BE=a,CF=2a.(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.(Ⅰ)证明:①∵BE=a,CF=2a,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD.∴△DBE∽△DCF________________________________________________。

1996高考数学试卷

1996高考数学试卷

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共65页）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的(1) 设全集I ={1，2，3，4，5，6，7}，集合A ={1，3，5，7}，B ={3，5}．则 ( ) (A) I =A ∪B(B) I =A ∪B(C) I = A ∪B (D) A ∪B(2) 当a >1时，在同坐标系中．函数y =a －x 与y =log a x 的图像是( )(3) 若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是 ( )(A) {x |2k π－43π<x <2k π＋4π，k ∈Z } (B) {x |2k π＋4π<x <2k π＋45π，k ∈Z }(C) {x |k π－4π<x <k π＋4π，k ∈Z } (D) {x |k π＋π41<x <k π＋43π，k ∈Z }(4) 复数54)31()22i i -+（等于( )(A) 1+3i (B) －1+3i (C) 1－3i (D) －1－3i(5) 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 ( )(A) 720种(B) 360种(C) 240种(D) 120种(6) 已知α是第三象限角sin α=－2524，则tg 2α= ( )(A)34(B)43 (C) －43 (D) －34 (7) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l =β∩γ，l ∥α，m =α，m ⊥γ，那么必有( )(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C) m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8) 当－2π≤x ≤2π时，函数f (x )=sin x ＋3cos x 的 ( ) (A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－21(C) 最大值是2，最小值是－2(D) 最大值是2，最小值－1(9) 中心在原点，准线方程为x =±4，离心为21的椭圆方程是 ( )(A) 3422y x +=1 (B) 4322y x +=1 (C) 42x ＋y 2=1(D) x 2＋42y =1(10) 圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240º，该圆锥的体积( )(A) 8122π(B)818π (C) 8154π(D)8110π(11) 椭圆25x 2－150x ＋9y 2＋18y ＋9=0的两个焦点坐标是 ( )(A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1)(D) (7，－1)，(－1，－1)(12) 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥的D －ABC 体积为( )(A) 63a(B) 123a(C)3123a(D)3122a(13) 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 ( ) (A) 130(B) 170(C) 210(D) 260(14) 设双曲线2222by a x -=1(0<a <b)的半焦距为c ，直线过l （a ，0），（0，b ）两点．已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( )(A) 2 (B)3(C)2 (D)332 (15) 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7，5)等于( )(A) 0.5(B) －0.5(C) 1.5(D) －1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项：1．第Ⅱ项共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16)已知点(－2，3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5，则p =________(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有__________个（用数字作答）(18) ︒︒+︒+︒40tg 20tg 340tg 20tg 的值是________(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60º的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分11分) 解不等式log a (x ＋1－a )>1． (21)(本小题满分12分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＋S 6=2S 9，求数列的公比q ． (22)(本小题满分11分)已知三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C =2B ，C A cos 1cos 1+=－Bcos 2，求cos2)(C A -的值．(23)(本小题满分12分)【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成(Ⅰ)证明的全过程；并解答(Ⅱ)．】如图：在正三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1中，AB =31AA =a ，E ，F 分别是BB 1，CC 1上的点且BE =a ，CF =2a ．(Ⅰ)求证：面AEF ⊥面ACF ； (Ⅱ)求三棱锥A 1－AEF 的体积． (Ⅰ)证明：①∵ BE =a ，CF =2a ，BE ∥CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ． ∴ △DBE ∽△DCF∴CFBEDE DB = ②_____________________ ∴ DB =AB ．③______________________ ∴ DA ⊥AC④_______________________ ∴ F A ⊥AD⑤_________________________ ∴ 面AEF ⊥面ACF ． (24)(本小题满分10分)某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．结果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?(粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/(总人口数))(25)(本小题满分12分)已知l 1、l 2是过点P ()02，-的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若A 1恰是双曲线的一个顶点，求| A 2 B 2|的值．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．答指出了每题要考查主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B (5)C (6)D (7)A (8)D (9)A (10)C (11)B (12)D (13)C (14)A (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4 (17)32 (18)3 (19)42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．解：（Ⅰ）当a >1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x解得 x >2a －1．(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<-+>-+.101a a x a x 解得 a －1<x <2a －1综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >2a －1};当0<a <1时，不等式的解集为{x |a －1<x <2a －1}．(21)本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分． 解：若q =1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1．但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，q ≠1．又依题意S 3＋S 6=2S 9可得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131 整理得q 3(2q 6－q 3－1)=0． 由q ≠0得方程 2q 6－q 3－1=0． (2q 3＋1)(q 3－1)=0， ∵ q ≠1，q 3－1≠0， ∴ 2q 3＋1=0∴ q =－243(22)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解法一：由题设条件知B =60º，A ＋C =120º． ∵ －︒60cos 2=－22∴CA cos 1cos 1+=－22 将上式化为 cos A ＋cos C =－22 cos A cos C 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos 2C A +cos 2CA -=－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)] 将cos 2)(C A +=cos60º=21，cos(A +C )= 21代入上式得cos2)(C A -=22－2cos(A －C) cos(A －C)=2cos 22)(C A -－1 代入上式并整理得42cos 22)(C A -＋2cos 2)(C A -－32=0， (2cos 2C A -－2)(22cos 2C A -＋3)=0．∵ 22cos 2CA -＋3≠0，∴ 2cos 2CA -－2=0，∴ cos2C A -=22． 解法二：由题设条件知 B=60º，A ＋C =120º． 设α=2C A - 则2C A -=2α，可得A=60º＋α，C=60º－α 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1oo αα-++=+C A =ααsin 23cos 211-＋ααsin 23cos 211+=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-αα依题得Bcos 243cos cos 2-=-α，∵ cos B =21， ∴ 2243cos cos 2-=-αα．整理得42cos 2α＋2cos α－32=0， (2cos α－2)(22cos α＋3)=0， ∵ 22cos α＋3≠0， ∴ 2cos α－2=0 从而得 cos222=-C A ． (23)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分．(Ⅰ)②∵BE :CF =1:2 ∴ DC =2BD ， ∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形， 且∠ABD =120º， ∴∠BAD =30º， ∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是F A 在面ACD 上射影， 且CA ⊥AD ， ⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ，DA ⊂面ADF ⑥∴面ADF ⊥面ACF ． (Ⅱ)解： ∵ F AA E AEF A V V 11--=． 在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ．B 1G=23a 面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ∵ B 1G ⊥面A 1 C ，∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ， ∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a F AA S 1∆=AA 1·2AC =232a ∴43311a V V FAA E AEF A ==-- (24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公项，又设该地区现有人口为p 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式()()()()%10110%111010%2214104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P xM化简得x ≤103×[1－22.1)01.01(1.110+⨯]．∵ ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯22.101.011.1110103=103×[1－22.11.1×(1＋110C ×0.01＋210C ×0.012＋…)] ≈103×[1－22.11.1×1.1045]≈4.1 9分 ∴ x ≤4(公顷)答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：依题设：l 1、l 2都存在，因为l 1过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k1(x ＋2)(k 1≠0)，y 2－x 2=1 ① 有两个不同的解，在方程组①中消去y ，整理得 (21k －1)x 2＋2221k x ＋221k －1=0 ②若(21k －1)=0，则方程①只有一个解，则l 1与以曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故(21k －1) ≠0，即|k 1|≠1．方程②的判别式为 △ 1=(2221k )2－4(21k －1)(221k －1)=4(321k －1)设l 2的斜率k 2，因为l 2过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k2(x ＋2)(k 2≠0)，y 2－x 2=1 ③ 有两个不同的解，在方程组③中消去y ，整理得(22k －1)x 2＋2222k x ＋222k －1=0 ④同理有(22k －1) ≠0，△2=4(322k －1) 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1 于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于 321k －1>0， 322k －1>0， k 1·k 2=－1， |k 1|≠1． 解得3||331<<k ， |k 1| ≠1．∴ k 1∈(－3，－1) ∪(－1，－33)∪(33，1)∪(1，3)(Ⅱ)双曲线y 2－x 2=1的顶点(0，1)、(0，－1)．取A 1(0，1)时，有 k 1(0＋2)=1，解得k 1=22．从而k 2=11k =－2． 将k 2=－2代入方程④得 x 2＋42x ＋3=0 ⑤ 记l 2与双曲线的两交点为A 2(x 1，y 1)、B 2(x 2，y 2)，则 |A 2B 2|2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2=3(x 1－x 2)2=3[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]． 由⑤知x 1＋x 2=－42 x 1x 2=3∴ | A 2 B 2|2=60，| A 2 B 2|=215当取A 1(0，－1)时，由双曲线y 2－x 2=1关于x 轴的对称性，知| A 2 B 2|=215 所以l 1过双曲线的一个顶点时，|A 2 B 2|=215。

高考理科数学试题及答案1996

高考理科数学试题及答案1996

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1996年全国统一高考数学试卷(文科)

1996年全国统一高考数学试卷(文科)

1996年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，第1-10题，每小题4分，第11-15题，每小题5分，满分65分）1．（4分）设全集I={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，B={3，5}．则（）A．I=A∪B B．I=∪B C．I=A∪D．∪2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象（）A．B．C．D．3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．4．（4分）复数等于（）A．B．C．D．5．（4分）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）A．720种B．360种C．240种D．120种6．（4分）已知α是第三象限角sinα=﹣，则tan=（）A．B．C．﹣D．﹣7．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ8．（4分）当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣19．（4分）中心在原点，准线方程为x=±4，离心为的椭圆方程是（）A ．=1B ．=1C ．+y 2=1D ．x 2+=110．（4分）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，该圆锥的体积（ ） A ． B ． C ．D ． 11．（5分）椭圆25x 2﹣150x+9y 2+18y+9=0的两个焦点坐标是（ ） A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3） B ． （3，3），（3，﹣5） C ． （1，1），（﹣7，1） D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1） 12．（5分）（2014•广西模拟）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D ﹣ABC 的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．13．（5分）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A ． 130 B ． 170 C ． 210 D ． 26014．（5分）设双曲线=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B ．C ．D ．15．（5分）设f （x ）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f （x+2）=﹣f （x ），当0≤x≤1时，f （x ）=x ，则f （7.5）等于（ ） A ． 0.5 B ． ﹣0.5 C ． 1.5 D ． ﹣1.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知点（﹣2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p= _________ ． 17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 _________ 个（用数字作答）．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°= _________ ． 19．（4分）如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 _________ ．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（11分）解不等式log a（x+1﹣a）＞1．21．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3+S6=2S9，求数列的公比q．22．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．23．（12分）如图：在正三棱柱ABC﹣A1 B1 C1中，AB==a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣AEF的体积．24．（10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）25．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．1996年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，第1-10题，每小题4分，第11-15题，每小题5分，满分65分）1．（4分）设全集I={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，B={3，5}．则（）A．I=A∪B B．I=∪B C．I=A∪D．∪考点：并集及其运算．专题：综合题．分析：根据全集和集合B求出集合B的补集，然后求出A和B补集的并集，得到正确答案．解答：解：因为全集I={1，2，3，4，5，6，7}，B={3，5}，所以={1，2，4，6，7}，又A={1，3，5，7}，则A∪={1，2，3，4，5，6，7}=I．故选C点评：本题考查了并集及补集的运算，是一道基础题．2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果．解答：解：∵函数y=a﹣x可化为函数y=，其底数小于1，是减函数，又y=log a x，当a＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的单调性；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：sin2x＞cos2x化为cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0，然后求解不等式即可得到x的取值范围．解答：解：因为sin2x＞cos2x，所以cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0解得：2kπ+＜2x＜2kπk∈Z所以x的取值范围是故选D．点评：本题考查余弦函数的单调性，二倍角的余弦，考查计算能力，是基础题．4．（4分）复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用1的立方虚根的性质化简，然后求得答案．解答：解：复数==．故选B．点评：复数代数形式的混合运算，同时应用1的立方虚根的性质化简；本题是中档题．5．（4分）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）A．720种B．360种C．240种D．120种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外4个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．解答：解：∵6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外4个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，共有A55A22=240，故选C．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，首先排列有限制条件的元素．6．（4分）已知α是第三象限角sinα=﹣，则tan=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：弦切互化；象限角、轴线角．专题：综合题．分析：由α是第三象限角，得到cosα小于0，然后由sinα的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用弦切互化公式化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由α是第三象限角，得到cosα=﹣=﹣，则tan====﹣．故选D．点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及弦切互化公式化简求值，是一道中档题．7．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ．然后推出l⊥m，得到结果．解答：解：∵m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，故选A．点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，基础题．8．（4分）当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵，∴f（x）∈[﹣1，2]，故选D点评：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查．9．（4分）中心在原点，准线方程为x=±4，离心为的椭圆方程是（）A ．=1B ．=1C ．+y 2=1D ．x 2+=1考点： 椭圆的标准方程． 专题： 综合题．分析：设出a ，b ，c 分别为椭圆的半长轴，半短轴及焦距的一半，根据椭圆的准线方程公式列出a 与c 的方程记作①，根据离心率列出a 与c 的方程记作②，联立①②即可求出a 与c 的值，根据a 2=b 2+c 2即可求出b 的值，由椭圆的中心在原点，利用a 与b 的值写出椭圆的标准方程即可． 解答：解：设a 为半长轴，b 为半短轴，c 为焦距的一半， 根据题意可知：±=±4即a 2=4c ①，=即a=2c ②， 把②代入①解得：c=1，把c=1代入②解得a=2，所以b==，又椭圆的中心在原点，则所求椭圆的方程为：+=1．故选A ．点评：此题考查学生灵活运用椭圆的准线方程及离心率的公式化简求值，掌握椭圆的一些基本性质，是一道综合题．10．（4分）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，该圆锥的体积（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题．分析： 求出侧面展开图的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面半径，高，即可求出圆锥的体积． 解答：解：侧面展开图的弧长，就是圆锥的底面周长：，底面半径为：，高：，圆锥的体积为：=故选C点评： 本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图与圆锥的关系，考查计算能力，注意弧长等于底面周长．11．（5分）椭圆25x 2﹣150x+9y 2+18y+9=0的两个焦点坐标是（ ） A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3） B ． （3，3），（3，﹣5） C ． （1，1），（﹣7，1） D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1）考点： 椭圆的简单性质． 专题： 综合题． 分析： 把椭圆的方程化为标准方程后，找出a 与b ，根据a 2=b 2+c 2求出c 的值，然后根据椭圆的中心坐标即可得到两焦点的坐标．解答：解：把椭圆方程25x 2﹣150x+9y 2+18y+9=0化为标准方程为：+=1，所以a=5，b=3，则c==4，且椭圆的中心为（3，﹣1），则两焦点坐标分别为（3，3）和（3，﹣5）．故选B点评：此题考查学生灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道中档题．12．（5分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D ﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=B0==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．13．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．解答：解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．点评：解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．14．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．解答：解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2.0＜a＜b，∴e=2．故选A．点评：若，则有0＜b＜a．15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5考点：奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知点（﹣2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，进而利用点到直线的距离建立方程求得p．解答：解：依题意可知抛物线的焦点为（，0）∴已知点到抛物线的焦点的距离为=5，求得p=4或﹣12（舍负），故答案为：4．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和两点间距离公式的应用．考查了学生基础知识的掌握和基本运算的能力．17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有32个（用数字作答）．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法减去在一条直线上的三点的个数即可．解答：解：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是：C73=35在一条直线上的三点有3个符合题意的三角形有35﹣3=32个故答案为：32点评：本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；压轴题．分析：利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．解答：解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：点评：本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即是EF⊥CE．进而求出CF、FB、BC，即可求出异面直线AD与BF所成角的余弦值．解答：解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（11分）解不等式log a（x+1﹣a）＞1．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数的运算性质．专题：计算题；分类讨论．分析：原不等式可转化为log a（x+1﹣a）＞log a a，分①a＞1②0＜a＜1两种情况讨论，结合对数函数的单调性解对数不等式可求．解答：解：①当a＞1时，原不等式等价于不等式组：解得x＞2a﹣1．②当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：解得a﹣1＜x＜2a﹣1综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞2a﹣1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a﹣1＜x＜2a﹣1}．点评：本小题考查对数函数的单调性性质的运用，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．21．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3+S6=2S9，求数列的公比q．考点：等比数列的性质．专题：综合题．分析：先假设q=1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简S3+S6=2S9得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．解答：解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，q≠1．又依题意S3+S6=2S9可得整理得q3（2q6﹣q3﹣1）=0．由q≠0得方程2q6﹣q3﹣1=0．（2q3+1）（q3﹣1）=0，∵q≠1，q3﹣1≠0，∴2q3+1=0∴q=﹣．点评：本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力，是一道综合题．22．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．23．（12分）如图：在正三棱柱ABC﹣A1 B1 C1中，AB==a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣AEF的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）欲证面ADF⊥面ACF，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADF内一直线与平面ACF 垂直，根据题意易证CA⊥AD，而FC⊥面ACD，则CA是FA在面ACD上射影，FA∩AC=A，满足线面垂直的判定定理，则DA⊥面ACF，而DA⊂面ADF，满足面面垂直的判定定理．（Ⅱ）先根据将所求的体积进行转化，在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G，求出B1G，然后利用体积公式进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）∵BE：CF=1：2∴DC=2BD，∴DB=BC，∵△ABD是等腰三角形，且∠ABD=120°，∴∠BAD=30°，∴∠CAD=90°，∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上射影，且CA⊥AD，∵FA∩AC=A，DA⊥面ACF，DA⊂面ADF∴面ADF⊥面ACF．（Ⅱ）解：∵．在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G．B1G=面A1B1C1⊥面A1C∵B1G⊥面A1C，∵E∈BB1，而BB1∥面A1C，∴三棱柱E﹣AA1F的高为B1G==AA1•=∴点评：本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．24．（10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）考点：二项式定理的应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：利用公式粮食单产=，人均粮食占有量=分别求出现在和10 年后的人均粮食占有量再利用已知条件人均粮食占有量比现在提高10%．列出不等式解得．解答：解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷．依题意得不等式化简得∵=≈4.1∴x≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．点评：本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．25．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；斜率的计算公式．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（1）显然l1、l2斜率都存在，设l1的斜率为k1，得到l1、l2的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k1的取值范围；（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程．解答：解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．联立得y=k1（x+），y2﹣x2=1，消去y得（k12﹣1）x2+2k12x+2k12﹣1=0．①根据题意得k12﹣1≠0，②△1＞0，即有12k12﹣4＞0．③完全类似地有﹣1≠0，④△2＞0，即有12•﹣4＞0，⑤从而k1∈（﹣，﹣）∪（，）且k1≠±1．（2）由弦长公式得|A1B1|=．⑥完全类似地有|A2B2|=．⑦∵|A1B1|=|A2B2|，∴k1=±，k2=．从而l1：y=（x+），l2：y=﹣（x+）或l1：y=﹣（x+），l2：y=（x+）．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．。

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(C) I A B
(D) I A B
()
()
高考试卷
有
体积为
(D)
(4) 复数
x

(A) 1 3i
k

1
4
(2 2i)4
(1 3i)5

x

等于
k

(B) 1 3i
3,k
4

Z

(5) 如果直线 l 、 m 与平面 、 、 满足： l ,l ∥,, m 和m ⊥ ，那么必
2
(A)
3
2
(B) 2 3 3
(15) 设 f(x)是(－∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)=x，则 f(7.5)
(A) 0.5
(B) －0.5
第Ⅱ卷(非选择题共 85 分)
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上．
(B)
(C)
x

x

x

2k
2k
k



3
4
1
4
1
4



x
x
x



k
2k
2k



1,k
4
5,k
4
1,k
4



Z

Z
Z
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案

【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案

【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则(A)I＝A∪B (B)I＝∪B(C)I＝A∪(D)I＝∪(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x＞cos2x,则x的取值范围是(A){x|2kπ－3/4π＜x＜2kπ＋1/4π，k∈Z} (B){x|2kπ＋1/4π＜x＜2kπ＋5/4π，k∈Z}(C){x|kπ－1/4π＜x＜kπ＋1/4π，k∈Z} (D){x|kπ＋1/4π＜x＜kπ＋3/4π，k∈Z}(4）复数(2＋2i)4/(1－i)5(A)1＋ i (B)－1＋ i (C)1－ i (D)－1－ i(5)如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(6)当－π/2≤x≤π/2，函数f(x)＝sinx＋cosx的(A)最大值是1，最小值是－1(B)最大值是1，最小值是1/2(C)最大值是2，最小值是－2(C)最大值是2，最小值是－1(7)椭圆的两个焦点坐标是(A)(－3,5)，(－3,－3)(B)(3,3)，(3,－5)(C)(1,1)，(－7,1)(D)(7,－1)，(－1,－1)(8)若0＜a＜π/2，则arcsin[cos(π/2＋a)]＋arccos[s in(π＋a)]等于(A)π/2(B)－π/2(C)π/2－2a(D)－π/2－2a(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD＝a,则三棱锥D-ABC的体积为(A)a3/6(B)a3/12(C)(/12)a3(D)(/12)a3(10)等比数列{a n}的首项a1＝－1，前n项和为S n，若S10/S5＝31/32，则limS n等于(A)2/3(B)－2/3(C)2(D)－2(11)椭圆的极坐标方程为ρ＝3/(2－cosθ)，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是(A)(3,0)，(1,π)(B)(,π/2)，(,3π/2)(C)(2,π/3)，(2,5π/3)(D)(,arctg(/2))，(,2π－arctg(/2))(12)等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(13)设双曲线x2/a2－y2/b2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为/4c，则双曲线的离心率为(A)2 (B)(C)(D)2/3(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于(A)2 /3 π(B)2/3π(C)π(D)2/3π(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则P= (17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答） (18) 40tg 20tg 340tg 20tg ++的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log >-x a ． (21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求2c os C A -的值．22．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足．① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ，④ ∵∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ，⑤ ∵ ∴112121BB AA FG ==，即11,21EB BE BB BE ==故 23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量） 24．已知l 1、l 2是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若12211,5l B A B A 求=、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1． (Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试96

高考数学普通高等学校招生全国统一考试96

高考数学普通高等学校招生全国统一考试96本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页；满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前；考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（B ）涂黑。

2．每小题选出答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用像皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试题卷上.3．考试结束；监考人将本试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分；共50分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的1、函数2()lg(31)f x x ++的定义域是A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞- 2、若复数z 满足方程220z +=；则3z =A.±B. -C. -D. ± 3、下列函数中；在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈C. ,y x x R =∈D. x 1() ,2y x R =∈ 4、如图1所示；D 是ABC ∆的边AB 上的中点；则向量CD =A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA +5、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行；经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直；那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面；那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线；那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B. 3C. 2D. 1 6、已知某等差数列共有10项；其奇数项之和为15；偶数项之和为30；则其公差为A.5B.4C. 3D. 2 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y轴交于点ACB 图1(0,2)P （如图2所示）；则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A.4B.3C.8、已知双曲线2239x y -=；则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于B.C. 2D. 4 9、在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下；当35x ≤≤时；目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8] 10、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ；规定：(,)(,)a b c d =；当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++；设,p q R ∈；若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=；则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题；每题5分；共20分. 11、2241lim()42x x x →--=-+________. 12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上；则该球的表面积为______. 13、在112()x x-的展开式中；5x 的系数为________.14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间；某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品；其中第1堆只有1层；就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放；从第二层开始；每层的小球自然垒放在下一层之上；第n 堆第n 层就放一个乒乓球；以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数；则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n 表示）.三解答题：本大题共6小题；共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题14分)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3()4f α=；求sin 2α的值. 图4…x +y +16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：X067 8 9 10 P0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击；以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩；记为ξ. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求ξ的分布列(III) 求ξ的数学期望E ξ.17、(本题14分)如图5所示；AF 、DE 分别世O 、1O 的直径；AD 与两圆所在的平面均垂直；8AD =.BC 是O 的直径；6AB AC ==,//OE AD .(I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.18、(本题14分)设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）；该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =- (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.19、(本题14分)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9；无穷等比数列{}2na 各项的和为815. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； (II)对给定的(1,2,3,,)k k n =；设()k T 是首项为k a ；公差为21k a -的等差数列；求(2)T 的前10项之和；(III)设i b 为数列()k T 的第i 项；12n n S b b b =+++；求n S ；并求正整数(1)m m >；使得limnmn S n →∞存在且不等于零.（注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限）20、(本题12分)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈；都有(2)(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)L L <<；使得对任意的12,[1,2]x x ∈；都有图5A FD1212|(2)(2)|||x x L x x ϕϕ-≤-.(I)设(2)[2,4]x x ϕ∈ ；证明：()x A ϕ∈(II)设()x A ϕ∈；如果存在0(1,2)x ∈；使得00(2)x x ϕ=；那么这样的0x 是唯一的； (III) 设()x A ϕ∈；任取1(1,2)x ∈；令1(2)n n x x ϕ-=；1,2,n =；证明：给定正整数k ；对任意的正整数p ；成立不等式121||||1k k p k L x x x x L-+-≤--高考 (B)第一部分 选择题（50分）1、函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞1、解：由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ；故选B.2、若复数z 满足方程022=+z ；则=3zA.22±B. 22-C. i 22-D. i 22± 2、由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+；故选D. 3、下列函数中；在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D.R x x y ∈=,)21(3、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.4、如图1所示；D 是△ABC 的边AB 上的中点；则向量=CDA. BA BC 21+- B. BA BC 21-- C. BA BC 21- D. BA BC 21+4、BA BC BD CB CD 21+-=+=；故选A.5、给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是5、①②④正确；故选B.6、已知等差数列共有10项；其中奇数项之和15；偶数项之和为30；则其公差是 A.56、3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ；故选C.7、函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)；则方程0)(=x f 的根是=x7、0)(=x f 的根是=x 2；故选C8、已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于 A.2 B.332 8、依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ；2332===a c e ；故选C. 9、在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下；当53≤≤s 时；目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是A. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[9、由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y sx x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--； （1） 当43<≤s 时可行域是四边形OABC ；此时；87≤≤z （2） 当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时；8max =z故选D.10、对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗；运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕；设R q p ∈,；若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q pA. )0,4(B. )0,2(C.)2,0(D.)4,0(-10、由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.第二部分 非选择题（100分）二、填空题 11、=+---→)2144(lim 22x xx 11、4121lim )2144(lim 222=-=+---→-→x x xx x 12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上；则该球的表面积为 12、ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 13、在112⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中；5x 的系数为13、85112)2()2(1121111111111111=⇒=-⇒-=-=-----+r r x C xx C T r r r rrrr所以5x 的系数为1320)2()2(3113111111-=-=---C C r r14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间；某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品；其中第一堆只有一层；就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始；每层的小球自然垒放在下一层之上；第n 堆第n 层就放一个乒乓球；以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数；则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .14、=)3(f 10；6)2)(1()(++=n n n n f三、解答题15、（本小题满分14分） 已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值；（Ⅲ）若43)(=αf ；求α2sin 的值. 15解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ; （Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ；即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 1672sin -=α16、（本小题满分12分）现进行两次射击；以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩；记为ξ. (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率； (Ⅱ)求ξ分布列； (Ⅲ) 求ξ的数学希望.16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、1004.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξPξ分布列为(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .17、（本小题满分14分）如图5所示；AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直；AD ＝8,BC 是⊙O 的直径；AB ＝AC ＝6；OE//AD. (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角； 依题意可知；ABCD 是正方形；所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点；BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴；建立空间直角坐标系（如图所示）；则O （0；0；0）；A （0；23-；0）；B （23；0；0）,D （0；23-；8）；E （0；0；8）；F （0；23；0）所以；)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD10828210064180||||,cos =⨯++=•>=<FE BD FE BD EF BD 设异面直线BD与EF所成角为α；则1082|,cos |cos =><=EF BD α 直线BD 与EF 所成的角为1082arccos18、（本小题满分14分）设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=•PB PA ,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.求(Ⅰ)点A 、B 的坐标 ； (Ⅱ)动点Q 的轨迹方程18解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(Ⅱ) 设),(n m p ；),(y x Q ；()()4414,1,122=-+-=--•---=•n n m n m n m PB PA21-=PQ k ；所以21-=--m x n y ；又PQ 的中点在)4(2-=x y 上；所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y消去n m ,得()()92822=++-y x19、（本小题满分14分）已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9；无穷等比数列}{2n a 各项的和为581. (Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ； (Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ；公差为12-k a )(k T的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项；n n b b b S +⋅⋅⋅++=21；求n S ；并求正整数)1(>m m ；使得m S nn ∞→lim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)19解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a q a q a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫⎝⎛--i i i ；()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ；m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m nm m n n n n n n 2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 当m=2时；m n n n S ∞→lim=－21；当m>2时；m n n nS ∞→lim =0；所以m=220、（本小题满分12分）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ；都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ；使得对任意的]2,1[,21∈x x ；都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ（Ⅰ）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ；证明：A x ∈)(ϕ(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的;(Ⅲ)设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121x x LL x x k k lk --≤-++解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ,≤33)2(x ϕ35≤,253133<<<,所以)2,1()2(∈x ϕ对任意的]2,1[,21∈x x ；()()()()23232132121211121212|||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ；<3()()()()32321321112121x x x x ++++++；所以0<()()()()2323213211121212x x x x ++++++32<,令()()()()2323213211121212x x x x ++++++=L；10<<L ；|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ所以A x ∈)(ϕ反证法:设存在两个0000),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=,)2(00x x '='ϕ则 由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-ϕϕ；得||||/00/00x x L x x -≤-；所以1≥L ；矛盾；故结论成立。

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1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(3)若sin 2x>cos 2x,则x 的取值范围是}Z k ,43k x 41k 2|x ){D (}Z k ,43k x 41k |x ){C (}Z k ,45k 2x 41k 2|x ){B (}Z k ,41k 2x 43k 2|x ){A (∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π[Key] D(4)复数)i 31()i 22(4-+等于i 31)D (i 31)C (i 31)B (i 31)A (---+-+[Key] B5)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ,l//α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β(C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ[Key] A(6)当2x 2π≤≤π-，函数x cos 3x sin )x (f +=的(A)最大值是1，最小值是-1(B)最大值是1，最小值是-(1/2)(C)最大值是2，最小值是-2(D)最大值是2，最小值是-1[Key] D(7)椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=sin 51y cos 33x 的两个焦点坐标是(B)(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1)(8)若2a 0π<<，则)]a (arccos[sin )]a 2(arcsin[cos +π++π等于 a 22)D (a 22)C (2)B (2)A (-π--ππ-π[Key] A(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为3333a 122)D (a 123)C (12a )B (6a )A ([Key] D(10)等比数列{a n }的首项a 1=-1，前n 项的和为S n ，若3231S S 510=，则n n S lim ∞→等于2)D (2)C (32)B (32)A (--[Key] B(11)椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 )23arctg 2,7)(23arctg ,7)(B ()35,2)(3,2)(B ()23,3)(2,3)(B (),1)(0,3)(A (-ππππππ[Key] C(12)等差数列{a n 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260[Key] C(13)设双曲线)b a 0(1b y a x 2222<<=+的半焦距为c ，直线l 过两点(a,0)(0,b)。

已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为332)D (2)C (3)B (2)A ([Key] A(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于ππππ362)D (2)C (332)B (322)A ([Key] D(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x ≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5[Key] B(16)已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切.则P= .[Key] 2(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有个(用数字作答).[Key] 32(18)tg20°+ tg40°+3tg20°tg40°的值是______________ [Key]3(19)如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角,则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是[Key]42.(20)解不等式1)x 11(log a>-。

[Key]本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分. 解:(Ⅰ)当a ＞1时,原不等式等价于不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧>->-分2a x 110x 11 由此得x 1a 1>-因为1-a<0,所以x<0,分50x a 11<<-∴(Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:分7)2(a x 11)1(0x 11⎪⎩⎪⎨⎧<->-由①得,x>1或x<0,由(2)得,0<x<a 11-,∴1<x<a 11- 10分综上，当a>1时，不等式的解集为}0x a 11|x {<<-当0<a<1时，不等式的解集为}a 11x 1|x {-<< 11分(21)已知△ABC 的三个角A ，B ，C 满足A+C=2B ，B cos 2Acos 1A cos 1-=+,求2C A cos -的值[Key]本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分. 解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°. 2分22C cos 1A cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-Θ将上式化为C cos A cos 22C cos A cos -=+利用和差化积及积化和差公式,上式可化为分从而得分代入上式并整理得将分代入上式得将12222C A cos 022C A cos 2032C A cos 220)32C A cos 22)(22C A cos(29,023)2C A cos(2)2C A (cos 241)2C A (cos 2)C A cos(6)C A cos(222)2C A cos(21)C A cos(,2160cos 2C A cos )]C A cos()C A [cos(222C A cos 2C A cos222=-=--∴≠+-=+---=--+---=---=+-=+=︒=+-++-=-++Θ解法二:由题设条件知B=60°,A+C=120°.)7(43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1C cos 1A cos 1)3(60C ,60A ,2C A 2C A 222分所以分可得则设-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+α-︒=α+︒=α=--=α)9(023cos 2cos 242243cos cos 21B cos B cos 243cos cos 222分整理得依题设条件有=-α+α-=-αα∴==-ααΘ)12(222C A cos 0)2cos 2(03cos 220)3cos 22)(2cos 2(分从而得=-=-α∴≠+α=+α-αΘ(22)如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1.(Ⅰ)求证:BE=EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).[Key](Ⅰ)证明:在截面A 1EC 内,过E 作EG ⊥A 1C,G 是垂足.① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F,连结BF,FG ,由AB=BC 得BF ⊥AC,② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ,BF 、EG 确定一个平面,交侧面AC 1于FG .③ ∵∴BE ∥FG ,四边形BEGF 是平行四边形,BE=FG ,④ ∵∴FG ∥AA 1,△AA 1C ∽△FGC,⑤ ∵1111EB BE ,BB 21BE ,BB 21AA 21FG ====∴故即(Ⅱ)解本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.(Ⅰ)①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1,2分 ②∵面ABC ⊥侧面AC 1, 3分③∵BE ∥侧面AC 1, 4分④∵BE ∥AA 1, 5分⑤∵AF=FC, 6分 (Ⅱ)解:分别延长CE 、C 1B 1交于点D,连结A 1D.)9(C A DA ,90C A B B DA C DA 30A DB 180(21DB A B DA 60A C B C B A B A C B DC 21EB CC 21BB 21EB ,CC //EB 111111111111111111111111111111111分即⊥︒=∠+∠=∠︒=∠-︒=∠=∠︒=∠=∠===∴==ΘΘ ∵CC 1⊥面A 1C 1B 1,即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影,根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C, 所以∠CA 1C 1所求二面角的平面角. 11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1,∠A 1C 1C=90°,∴∠CA 1C 1=45°,即所求二面角为45°. 12分:23.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)?(),(总人口数总产量人均粮食占有量耕地面积总产量糖食单产==[Key]本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似计算的方法和能力.满分10分.解:设耕地平均每年至多只能减少X 公顷,又设该地区现有人口为P 人,粮食单产为M 吨/公顷. 依题意得不等式)9)((1.4x 1.4)1045.1(22.11.11[10)]01.0C 01.0C 1(22.11.11[10]22.1)01.01(1.11[10]22.1)01.01(1.11[10x )5%)(101(P 10M %)11(P )x 1010(%)221(M 3221011031031034104分公顷化简得分≤∴≈⨯-⨯≈⨯+⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-⨯≤+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯K Θ答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷. 10分(24)已知l 1、l 2是过点P(-2,0)的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2-x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2(I)求l 1的斜率k 1的取值范围；(II)若|A 1B 1|=5|A 2B 2|，求l 1、l 2的方程(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.解：(I)依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P(-2,0)且与双曲线有两个交点，故方程组 ⎩⎨⎧=-≠+=)1()1(1x y )0k )(2x (k y 2211分有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得)2(01k 2x k 22x )1k (2121221=-++-若k 21-1=0,则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故k 21-1≠0即|k 1|≠1方程②的判别式为)1k 3(4)1k 2)(1k (4)k 22(2121212211-=---=∆设的斜率为k 2，因为l 2过点P(-2,0)且与双曲线有两个交点，故方程组⎩⎨⎧=-≠+=)3(1x y )0k )(2x (k y 2222有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得)1k 3(4,01k )4(01k 2x k 22x )1k (222222222222-=∆≠-=-++-同理有又因为l 1⊥l 2,所以有k 1·k 2=-1. 4分于是,l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=•>->-1|k |1k k 01k 301k 31212221解得)6(1|k |3k 3311分⎪⎩⎪⎨⎧≠<<)7)(33,1()1,33()33,1()1,3(k 1分⋃⋃-⋃--∈∴(Ⅱ)设A 1(x 1y 1),B 1(x 2y 2)1.由方程②知,1k 1k 2x x ,1k k 22x x 212121212121--=⋅--=+∴│A 1B 1│2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2)9()5()1k ()1k 3)(k 1(4)x x )(k 1(221212122121分--+=-+=同理，由方程④可求得，|A 2B 2|2,整理得)k 1()k 3)(k 1(4|B A |212121222--+=⑥由|A 1B 1|=|,B A |522得|A 1B 1|2=5|A 2B 2|2将⑤、⑥代入上式得2k )k 1()k 3)(k 1(45)1k ()1k 3)(k 1(4122121212212121±--+⨯=--+解得)12)(2x (22y :l ),2x (2y :l ,2k )2x (22y :l ),2x (2y :l ,2k 211211分时取时取+=+-=-=+-=+==25.已知a 、b 、c 是实数,函数f(x)=ax 2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x ≤1时,│f(x)│≤1.(Ⅰ)证明:│c │≤l;(Ⅱ)证明:当-1≤x ≤1时,│g(x)│≤2;(Ⅲ)设a>0,当-1≤x ≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).[Key] 本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力。

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