二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
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二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx] 有形如 y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型 二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解 yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和 yY(x)+y*(x)
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例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10 因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是 特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程 得 >>>
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x 比较系数 得 b0 1 b11 故 y* x( 1 x 1)e2x 2 2 因此所给方程的通解为 y C1e2x + C2e3x 1 (x 2 + 2x)e2x 2
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例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0x+b1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x+1
(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x 1 4 >>> 比较两端同类项的系数 得 a b 0 c 0 d 3 9 同类项的系数 得 a 1 b0 c0 d 4 3 9 因此所给方程的特解为 y* 1 x cos 2x + 4 sin 2x 3 9
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
2b0x+2b0b1x 比较系数 得 b0 1 b11 故 y* x( 1 x 1)e2x 2 2 提示 2b01 2b0b10 5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x 齐次方程 y
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例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示
y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex] [Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
提示 此时2+p+q0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
提示 此时2+p+q0 但2+p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
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比较两端 x 同次幂的系数 得 b01 b1 1 3 因此所给方程的特解为 y* x + 1 3
提示 [ b 3 x0 + b 3 ]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1 0b 1 2b 3 b2 3b1 30 b b1 1 0x 0
提示 此时2+p+q0 2+p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
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结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyPm(x)ex 有形如 y*xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2
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例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得 >>>
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx] 有形如 y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型 二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解 yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和 yY(x)+y*(x)
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例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10 因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是 特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程 得 >>>
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x 比较系数 得 b0 1 b11 故 y* x( 1 x 1)e2x 2 2 因此所给方程的通解为 y C1e2x + C2e3x 1 (x 2 + 2x)e2x 2
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例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0x+b1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x+1
(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x 1 4 >>> 比较两端同类项的系数 得 a b 0 c 0 d 3 9 同类项的系数 得 a 1 b0 c0 d 4 3 9 因此所给方程的特解为 y* 1 x cos 2x + 4 sin 2x 3 9
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
2b0x+2b0b1x 比较系数 得 b0 1 b11 故 y* x( 1 x 1)e2x 2 2 提示 2b01 2b0b10 5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x 齐次方程 y
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示
y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex] [Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
提示 此时2+p+q0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
提示 此时2+p+q0 但2+p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
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比较两端 x 同次幂的系数 得 b01 b1 1 3 因此所给方程的特解为 y* x + 1 3
提示 [ b 3 x0 + b 3 ]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1 0b 1 2b 3 b2 3b1 30 b b1 1 0x 0
提示 此时2+p+q0 2+p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
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结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyPm(x)ex 有形如 y*xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2
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例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得 >>>